Question

ABCD-прямоугольник, м - произвольная точка. Докажите, что векторы МА*МС = векторам МB *МD Пожалуйста, срочно!!! 30 баллов

Answer 1

Вот, держи на здоровье

Answer 2

Для доказательства данного утверждения давайте воспользуемся геометрической интерпретацией векторов.

Пусть ABCD - прямоугольник, а M - произвольная точка внутри этого прямоугольника. Также обозначим векторы MA, MB, MC и MD как векторы, идущие из точки M к вершинам A, B, C и D соответственно.

Теперь давайте рассмотрим векторную сумму MA + MC. Эта сумма представляет собой вектор, который начинается в точке M и заканчивается в какой-то точке на диагонали AC прямоугольника ABCD. Давайте обозначим эту точку как X.

Аналогично, рассмотрим векторную сумму MB + MD. Эта сумма представляет собой вектор, который начинается в точке M и заканчивается в какой-то точке на диагонали BD прямоугольника ABCD. Обозначим эту точку как Y.

Теперь, чтобы доказать, что вектор MA * MC равен вектору MB * MD, давайте рассмотрим треугольники MXC и MYD, где X - это точка на диагонали AC, а Y - точка на диагонали BD.

Так как ABCD - прямоугольник, то у него прямые углы, и диагонали пересекаются в его центре (пусть это будет точка O). Таким образом, треугольники MXC и MYD имеют общую вершину M и общий угол CMD, так как оба угла равны прямым углам прямоугольника ABCD.

Теперь мы можем применить свойство подобных треугольников: если два треугольника имеют общий угол и параллельные стороны, то они подобны. В данном случае, стороны MC и MD параллельны (поскольку это диагонали прямоугольника), и угол CMD общий для треугольников MXC и MYD.

Следовательно, треугольники MXC и MYD подобны. Из свойств подобных треугольников следует, что соответствующие отношения сторон равны:

MC / MD = XC / YD.

Теперь давайте вернемся к векторам:

MC = MX + XC, MD = MY + YD.

Теперь мы можем записать:

(MA + MX) / (MB + MY) = XC / YD.

Теперь выразим MX и MY:

MA + MX = MB + MY.

Теперь мы видим, что выражение слева равно выражению справа:

(MA + MX) / (MB + MY) = XC / YD.

Таким образом, мы доказали, что вектор MA * MC равен вектору MB * MD.