Question

Найдите наибольшее натуральное число n такое, что 26+210+211+2n является квадратом натурального числа.​

Answer 1

k^2=2^6*(1+16+32)+2n

k^2-64*49=2n

(k-56)*(k+57)=2n

Если задача (в комментариях) записана правильно, то n - не ограничено.

Подставляя в формулу любое сколь угодно большое  k  получим сколь угодно большое n.

Answer 2

Для того чтобы найти наибольшее натуральное число n, такое что 26 + 210 + 211 + 2n является квадратом натурального числа, давайте начнем с выражения и попробуем его упростить:

26 + 210 + 211 + 2n = 447 + 2n

Мы хотим, чтобы это выражение было квадратом натурального числа. Пусть x - натуральное число, и мы хотим, чтобы 447 + 2n было равно x^2. Таким образом, у нас есть уравнение:

x^2 = 447 + 2n

Теперь мы хотим найти наибольшее n, удовлетворяющее этому уравнению. Для этого мы можем попробовать разные значения x и решать уравнение относительно n. Начнем с x = 1:

1^2 = 447 + 2n 1 = 447 + 2n 2n = -446 n = -223

Однако n должно быть натуральным числом, поэтому это не подходит. Попробуем следующее значение x:

2^2 = 447 + 2n 4 = 447 + 2n 2n = -443 n = -221

Тоже не подходит. Продолжим увеличивать x:

3^2 = 447 + 2n 9 = 447 + 2n 2n = -438 n = -219

Также не подходит. Продолжая этот процесс, мы увидим, что наибольшее натуральное число n, удовлетворяющее условию, не существует, так как уравнение x^2 = 447 + 2n не имеет натуральных решений.