Question

При множенні двох чисел, одне з яких на 10 більше за інше, учень допустив помилку, і зменшив цифру десятків добутку на 4. Для перевірки відповіді, він поділив одержаний добуток на менший множник і отримав частку 39 і остачу 22. Знайдіть початкові множники.

Answer 1

Нехай менше число дорівнює $x$, тоді більше число дорівнює $x+10$.

Оскільки остача – число двозначне, то і множники мають бути однозначними або двозначними

Зменшити цифру десятків на 4 — це те саме, що відняти від числа 40. Складемо рівняння:

$x(x+10)-40=39x+22\\x^2+10x-40-39x-22=0\\x^2-29x-62=0\\x_1=31\\x_2=-2$

Отримаємо пари чисел (31; 41) та (–2;8).

Перевірка: $31 \cdot 41 = 1271$. Зменшивши цифру десятків на 4, отримаємо 1231. Розділивши на менший множник (на 31) отримаємо частку 39 і остачу 22:

$1231=39 \cdot 31+22$

Другий випадок: $-2 \cdot 8=16$. Ми не можемо зменшити цифру десятків добутку на 4, тому цей корінь відпадає (хоча якби в умові було майже еквівалентно сформульовано «відняли від числа 40», ця пара чисел цілком задовольняла б умові).

Відповідь: (31; 41).

Answer 2

Ответ:

31 та 41.

Пояснення:

Нехай менше число x, тоді більше — (x+10), а їхній справжній добуток дорівнює x(x+10) = (x²+10x). Зменшити цифру десятків числа на 4 — це те саме, що й відняти від нього 40. Тож учень отримав відповідь (x²+10x-40).

Якщо відомо, що a÷b = q (ост. r), де a — ділене, b — дільник, q —неповна частка, r — остача, то число a можна подати у вигляді bq+r. За умовою задачі a = x²+10x-40, b = x, q = 39, r = 22. Складемо рівняння:

$></p> <p>За теоремою Вієта:</p> <p><img src=$

Легко бачити, що x_1 = -2, x_2 = 31.

Якщо менше число дорівнює -2, то більше — -2+10 = 8, але тоді їхній добуток -2×8 = -16 такий, що його цифру десятків можна зменшити хіба що на 1. Тож розв'язок -2 не задовольняє умові задачі.

А от якщо менше число — 31,  а більше — 31+10 = 41, то все добре: учень мав отримати 1271, але помилився й записав у відповіді 1231.

Answer 3

Позначимо більший множник як "x" і менший множник як "y". За умовою задачі ми знаємо, що одне число більше іншого на 10, тобто:

x = y + 10

Також учень допустив помилку і зменшив цифру десятків добутку на 4, отже, отримав наступний добуток:

(x * y) - 40

Далі він поділив цей добуток на менший множник і отримав частку 39 і остачу 22, тобто:

(x * y - 40) = 39y + 22

Тепер ми можемо розв'язати цю систему рівнянь. Підставимо в перше рівняння значення x з другого рівняння:

(y + 10) * y - 40 = 39y + 22

Розкриємо дужки і спростимо:

y^2 + 10y - 40 = 39y + 22

Приберемо 39y з обох боків:

y^2 + 10y - 39y - 40 = 22

Зведемо подібні доданки:

y^2 - 29y - 40 = 22

Тепер перенесемо 22 наліво, отримаємо:

y^2 - 29y - 40 - 22 = 0

y^2 - 29y - 62 = 0

Тепер ми можемо використовувати квадратне рівняння для знаходження значення "y". Використаємо квадратну формулу:

y = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a)

У цьому випадку:

a = 1, b = -29, c = -62

y = (29 ± √((-29)² - 4 * 1 * (-62))) / (2 * 1)

y = (29 ± √(841 + 248)) / 2

y = (29 ± √1089) / 2

y = (29 ± 33) / 2

Тепер розглянемо два випадки:

1. y = (29 + 33) / 2 = 62 / 2 = 31
2. y = (29 - 33) / 2 = -4 / 2 = -2

Отже, ми маємо два можливих значення для меншого множника "y": 31 і -2.

Тепер можемо знайти відповідні більші множники "x". Для першого випадку, коли y = 31:

x = y + 10 = 31 + 10 = 41

Для другого випадку, коли y = -2:

x = y + 10 = -2 + 10 = 8

Отже, початкові множники це (x, y) = (41, 31) і (8, -2).