Question

Найти частные производные второго порядка функции z=z(x,y). Функция: z=xy+y+ctg(xy)

Answer 1

Ответ:

$z = xy + y + ctg(xy)$

$z'_x = y - \frac{y}{ \sin {}^{2} (xy) }$

$z'_y = x + 1 - \frac{x}{ \sin {}^{2} (xy) }$

$z''_{xx} = ( - y( \sin(xy)) {}^{ - 2} )'_x = 2y( \sin(xy)) {}^{ - 3} \times ( \sin(xy))'_x \times (xy)'_x= \\ = \frac{2y}{ \sin {}^{3} (xy) } \times \cos(xy) \times y = \frac{2 {y}^{2} \cos(xy) }{ \sin {}^{3} (xy) }$

$z''_{yy} = ( - x \sin {}^{ - 2} (xy))'_y = 2x \sin {}^{ - 3} (xy) \times \cos(xy) \times x = \\ = \frac{2 {x}^{2} \cos(xy) }{ \sin {}^{3} (xy) }$

$z''_{xy} = 1 - \frac{y' \sin {}^{2} (xy) - (\sin {}^{2} (xy)) '\times y}{ \sin {}^{4} (xy) } = \\ = 1 - \frac{ \sin {}^{2} (xy) - 2 \sin(xy) \times \cos(xy) \times x \times y}{ \sin {}^{4} (xy) } = \\ = 1 - \frac{ \sin {}^{2} (xy) - xy \sin(2xy) }{ \sin {}^{4} (xy) }$

Answer 2

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$><strong></strong></p> <p><strong></strong><img src=$ 0 0

Answer 3

Для нахождения частных производных второго порядка функции z = z(x, y) сначала найдем частные производные первого порядка, а затем вычислим частные производные второго порядка.

Дано: z = xy + y + ctg(xy)

1. Найдем частные производные первого порядка:

∂z/∂x = y - ysin^2(xy) ∂z/∂y = x + 1 - xsin^2(xy)

2. Теперь найдем частные производные второго порядка:

Для ∂²z/∂x²: ∂(∂z/∂x)/∂x = ∂(y - ysin^2(xy))/∂x = 0 - y2xycos(xy) - ysin^2(xy)(1 + 2xycos(xy))

Для ∂²z/∂y²: ∂(∂z/∂y)/∂y = ∂(x + 1 - xsin^2(xy))/∂y = 0 - x2xycos(xy) - xsin^2(xy)(1 + 2xycos(xy))

Для ∂²z/∂x∂y: ∂(∂z/∂x)/∂y = ∂(y - ysin^2(xy))/∂y = 1 - sin^2(xy) - y2xy*cos(xy)

Таким образом, частные производные второго порядка для функции z = xy + y + ctg(xy) следующие:

∂²z/∂x² = -2xy^2cos(xy) - ysin^2(xy)(1 + 2xycos(xy)) ∂²z/∂y² = -2x^2ycos(xy) - xsin^2(xy)(1 + 2xycos(xy)) ∂²z/∂x∂y = 1 - sin^2(xy) - 2xy^2cos(xy)