Question

40 БАЛЛОВ Пожалуйста Срочно Полное исследование квадратичной функции: y=4x^2-4x+3

Answer 1

Ответ:

↓↓↓

Пошаговое объяснение:

Исследование квадратичной функции: y=4x²-4x+3

1) Область определения х- любое, ветви вверх , тк 4>0.

2)Вершина (1\2;2)

$x_0=\frac{-b}{2a} ,x_0=\frac{-(-4)}{2*4} =\frac{1}{2} ,\\y_0=4*(\frac{1}{2} )^{2} -4*\frac{1}{2} +3=2$.

3) Точки пересечения с осями

- с ох ( у=0) , 4x²-4x+3=0 , D=16-48=-32 ,точек пересечения нет( это очевидно, тк вершина параболы лежит выше оси ох и ветви вверх);

- с осью ОУ (х=0) , у(0)=4*0-4*0+3=3 , ( 0;3),

4)Убывает при х∈(-∞; 1\2),

возрастает пр х∈(1\2;+∞).

5) Принимает только положительные значения у>0 при любом х.

Answer 2

Конечно, давайте проведем полное исследование квадратичной функции $y = 4x^2 - 4x + 3$.

1. Нахождение вершины параболы:

   Вершина квадратичной функции вида $y = ax^2 + bx + c$ может быть найдена с использованием формулы $x_v = -\frac{b}{2a}$ и подстановкой $x_v$ в функцию для нахождения $y_v$.

   В данном случае:

   $a = 4$, $b = -4$

   $x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 4} = \frac{1}{2}$

   $y_v = 4 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 4 \cdot \frac{1}{2} + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$

   Таким образом, вершина параболы находится в точке $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$.

2. Направление и величина открытия параболы:

   Поскольку $a = 4 > 0$, парабола открывается вверх.

3. Нахождение параболы и оси симметрии:

   Ось симметрии параболы проходит через вершину и вертикально вниз. В данном случае, ось симметрии проходит через $x = \frac{1}{2}$.

4. Нахождение параболы:

   Чтобы построить график параболы, вы можете использовать точку вершины $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ и вычислить несколько дополнительных точек, подставив различные значения $x$. Например:

   • При $x = 0$: $y = 4 \cdot 0^2 - 4 \cdot 0 + 3 = 3$
   • При $x = 1$: $y = 4 \cdot 1^2 - 4 \cdot 1 + 3 = 3$
   • При $x = -1$: $y = 4 \cdot (-1)^2 - 4 \cdot (-1) + 3 = 11$

5. Нахождение корней параболы (решение уравнения $y = 0$):

   Для найти корни, мы решаем уравнение $4x^2 - 4x + 3 = 0$. Один из способов это сделать - это использовать квадратное уравнение:

   $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

   В данном случае:

   $a = 4$, $b = -4$, $c = 3$

   $x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

   $x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 48}}{8}$

   Поскольку дискриминант ($b^2 - 4ac$) отрицателен, уравнение не имеет действительных корней.

6. Нахождение точек пересечения с осями координат:

   Чтобы найти точки пересечения с осями координат, нужно решить уравнения $y = 0$ (ось X) и $x = 0$ (ось Y):

   • Для $y = 0$: $4x^2 - 4x + 3 = 0$ (как мы уже установили, у этого уравнения нет действительных корней).
   • Для $x = 0$: $y = 4 \cdot 0^2 - 4 \cdot 0 + 3 = 3$

   Таким образом, парабола пересекает ось Y в точке $(0, 3)$.

7. Построение графика:

   Теперь, имея вершину, направление открытия, ось симметрии, и несколько дополнительных точек, вы можете построить график квадратичной функции $y = 4x^2 - 4x + 3$