Question

Найти остаток от деления1)6^100 на 35

Answer 1

Ответ:

Відповідь: 17,14286.

Пошаговое объяснение:

17,14286

Answer 2

Для нахождения остатка от деления $6^{100}$ на 35, можно воспользоваться малой теоремой Ферма. Сначала проверим, являются ли 6 и 35 взаимно простыми числами, то есть не имеют общих делителей, кроме 1.

6 = 2 * 3 35 = 5 * 7

6 и 35 не имеют общих делителей, кроме 1, поэтому они взаимно просты. Теперь мы можем применить малую теорему Ферма.

Малая теорема Ферма гласит, что если $p$ - простое число, и $a$ - целое число, не кратное $p$, то:

$a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$

В нашем случае, $p = 5$ (потому что 35 = 5 * 7), и $a = 6$. Таким образом:

$6^{5-1} \equiv 6^4 \equiv 1 \pmod{5}$

Теперь, мы знаем, что $6^4$ сравнимо с 1 по модулю 5.

Теперь рассмотрим $6^{100}$ по модулю 5:

$6^{100} = (6^4)^{25} \equiv 1^{25} \equiv 1 \pmod{5}$

Следовательно, $6^{100}$ сравнимо с 1 по модулю 5.

Теперь давайте рассмотрим $6^{100}$ по модулю 7. Используя малую теорему Ферма с $p = 7$, получаем:

$6^{7-1} \equiv 6^6 \equiv 1 \pmod{7}$

Теперь рассмотрим $6^{100}$ по модулю 7:

$6^{100} = (6^6)^{16} \equiv 1^{16} \equiv 1 \pmod{7}$

Таким образом, $6^{100}$ сравнимо с 1 по модулю 7.

Теперь нам нужно найти число, которое соответствует остатку при делении 1 на 5 и 1 на 7, используя китайскую теорему об остатках. Это число будет сравнимо с 1 по модулю 5 и 1 по модулю 7, следовательно, оно будет сравнимо с 1 по модулю 35.

Исходное число $6^{100}$ сравнимо с 1 по модулю 35. Таким образом, остаток от деления $6^{100}$ на 35 равен 1.