Question

Найти частное решение диф уравненияy'' + 8y' + 5y = 5x^2+6x-12 y(0) = 0, y'(0) = 2

Answer 1

Ответ:

1. Решение ОЛДУ:

$y'' + 8y '+ 5y = 0 \\ \\ y = {e}^{kx} \\ \\ k {}^{2} + 8k + 5 = 0 \\ D= 64 - 20 = 44\\ k_1 = \frac{ - 8 + 2 \sqrt{11} }{2} = - 4 + \sqrt{11} \\ k_2 = - 4 - \sqrt{11} \\ \\ y = C_1e {}^{( - 4 + \sqrt{11})x } + C_2e {}^{( - 4 - \sqrt{11 } )x}$

2. у с неопределенными коэффициентми

$y = a {x}^{2} + bx + c$

$y' = 2ax + b$

$y ''= 2a$

$2a + 16ax + 8b + 5 {ax}^{2} + 5bx + 5c = 5 {x}^{2} + 6x - 12 \\ \\ 5a = 5 \\ 16a + 5b = 6 \\ 2a + 5c + 8b= - 12 \\ \\ a = 1\\ b = \frac{6 - 16}{5} = - 2 \\ c = \frac{2}{5} \\ \\ y = {x}^{2} - 2x + \frac{2}{5}$

общее решение

$y = C_1e {}^{( - 4 + \sqrt{11} )x} + C_2e {}^{( - 4 - \sqrt{11} )x} + {x}^{2} - 2x + \frac{2}{5}$

$y(0) = 0,y'(0) = 2$

$y '= ( - 4 + \sqrt{11} )C_1 {e}^{( - 4 + \sqrt{11})x } + ( - 4 - \sqrt{11} )C_2 {e}^{( - 4 - \sqrt{11})x } + 2x - 2$

$0 = C_1 + C_2 = \frac{2}{5} \\ 2 = ( - 4 + \sqrt{11} )C_1 + ( - 4 - \sqrt{11} )C_2 - 2 \\ \\ C_1 = \frac{ - 11 + 6 \sqrt{11} }{55} \\ C_2 = \frac{ - 11 - 6 \sqrt{11} }{55} \\ \\ y = \frac{ - 11 + 6 \sqrt{11} }{55} {e}^{( - 4 + \sqrt{11})x } - \frac{11 + 6 \sqrt{11} }{55} {e}^{( - 4 - \sqrt{11})x } + {x}^{2} - 2x + \frac{2}{5}$

частное решение

Answer 2

Для нахождения частного решения данного дифференциального уравнения второго порядка, мы можем воспользоваться методом вариации постоянных. Уравнение имеет следующий вид:

y'' + 8y' + 5y = 5x^2 + 6x - 12

Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

y'' + 8y' + 5y = 0

Характеристическое уравнение этого однородного уравнения имеет следующий вид:

r^2 + 8r + 5 = 0

Мы можем решить это квадратное уравнение для нахождения корней r. Используем квадратное уравнение:

(r + 5)(r + 1) = 0

r1 = -5 r2 = -1

Теперь мы знаем корни характеристического уравнения, и общее решение однородного уравнения будет иметь вид:

y_h(x) = c1 * e^(-5x) + c2 * e^(-x)

Теперь мы можем найти частное решение неоднородного уравнения. В данном случае, частное решение можно искать в виде многочлена второй степени, так как правая часть уравнения - это многочлен второй степени (5x^2 + 6x - 12).

Пусть частное решение имеет вид:

y_p(x) = Ax^2 + Bx + C

Теперь найдем производные этого выражения:

y_p'(x) = 2Ax + B y_p''(x) = 2A

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

2A + 8(2Ax + B) + 5(Ax^2 + Bx + C) = 5x^2 + 6x - 12

Раскроем скобки и сгруппируем по степеням x:

(5A) x^2 + (16A + 5B) x + (8B + 2A + 5C) = 5x^2 + 6x - 12

Теперь сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x:

5A = 5 (коэффициент при x^2) 16A + 5B = 6 (коэффициент при x) 8B + 2A + 5C = -12 (свободный член)

Из первого уравнения получаем A = 1. Подставим это значение во второе уравнение:

16(1) + 5B = 6 16 + 5B = 6 5B = 6 - 16 5B = -10 B = -2

Теперь подставим значения A и B в третье уравнение:

8(-2) + 2(1) + 5C = -12 -16 + 2 + 5C = -12 -14 + 5C = -12 5C = -12 + 14 5C = 2 C = 2/5

Таким образом, мы нашли значения A, B и C:

A = 1 B = -2 C = 2/5

Частное решение неоднородного уравнения:

y_p(x) = x^2 - 2x + 2/5

Теперь можем найти общее решение неоднородного уравнения, сложив частное решение и общее решение однородного уравнения:

y(x) = y_h(x) + y_p(x) = c1 * e^(-5x) + c2 * e^(-x) + x^2 - 2x + 2/5

Используя начальные условия y(0) = 0 и y'(0) = 2, мы можем найти значения констант c1 и c2:

y(0) = c1 * e^0 + c2 * e^0 + 0^2 - 2*0 + 2/5 = c1 + c2 + 2/5 = 0

y'(0) = -5c1 * e^0 - c2 * e^0 + 2 = -5c1 - c2 + 2 = 2

Теперь решим эту систему уравнений:

c1 + c2 + 2/5 = 0 -5c1 - c2 + 2 = 2

Из второго уравнения видно, что -5c1 - c2 = 0, что можно записать как -5c1 = c2. Подставим это в первое уравнение:

c1 + (-5c1) + 2/5 = 0 c1 - 5c1 + 2/5 = 0 -4c1 + 2/5 = 0

Теперь выразим c1:

-4c1 = -2/5 c1 = (2/5) / 4 c1 = 1/10

Теперь найдем c2, используя c1 = 1/10:

c2 = -5c1 c2 = -5 * (1/10) c2 = -1/2

Итак, мы нашли значения констант c1 и c2:

c1 = 1/10 c2 = -1/2

Таким образом, окончательное частное решение данного дифференциального уравнения:

y(x) = (1/10) * e^(-5x) - (1/2) * e^(-x) + x^2 - 2x + 2/5