Question

Знайдіть проміжки зростання і спадання та точки екстремуму функції y=x^2-3x/x+1 Срочно помогите!!

Answer 1

Решение:

Чтобы найти промежутки возрастание/спадания функции и её экстремумы, нужно приравнять её производную к нулю:

$y = \frac{x^2-3x}{x+1}$

Найдём производную про правилу: $(\frac{x}{y})`=\frac{x`y-xy`}{y^2}$:

$y` = \frac{(x^2-3x)`(x+1)-(x+1)`(x^2-3x)}{(x+1)^2} = \frac{(2x-3)(x+1)-1(x^2-3x)}{(x+1)^2} =$

$= \frac{2x^2+2x-3x-3-x^2+3x}{(x+1)^2} = \frac{x^2+2x-3}{(x+1)^2}$

Приравняем производную к нулю:

$\frac{x^2+2x-3}{(x+1)^2} = 0$

Знаменатель не может быть равен нулю, значит приравняем к нему только числитель:

$x^2 + 2x - 3 = 0\\D = 2^2 - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16\\\\x_1 = \frac{-2+4}{2} = 1\\\\x_1 = \frac{-2-4}{2} = -3$

Получили экстремумы функции.

Воспользуемся методом интервалов для нахождения промежутков возрастания и спадания функции. Т.к. возле старшего коэффициента стоит плюс, начинаем с плюса:

  +             -                +

-------(-3)----------(1)----------->

Функция возрастает на (-∞; -3] и [1; +∞)

Функция спадает на [-3; 1]

x = -3 - точка максимума

x = 1 - точка минимума

Answer 2

Для знаходження проміжків зростання і спадання, а також точок екстремуму функції y(x) = (x^2 - 3x) / (x + 1), спершу знайдемо похідну цієї функції та розв'яжемо її для знаходження критичних точок.

1. Знайдемо похідну функції y(x):

y(x) = (x^2 - 3x) / (x + 1)

Для пошуку похідної використаємо правило диференціювання дробу:

y'(x) = [(x + 1) * (2x - 3) - (x^2 - 3x) * 1] / (x + 1)^2

y'(x) = [2x^2 - 3x + 2x - 3 - x^2 + 3x] / (x + 1)^2

y'(x) = (x^2 - 1) / (x + 1)^2

2. Тепер знайдемо критичні точки, розв'язавши рівняння y'(x) = 0:

(x^2 - 1) / (x + 1)^2 = 0

x^2 - 1 = 0

x^2 = 1

x = ±1

Критичні точки: x = -1 і x = 1.

3. Тепер визначимо проміжки зростання і спадання функції. Для цього скористаємося знаками похідної y'(x) між критичними точками та за межами них. Ми можемо використовувати тестування знаку.

a) Розглянемо інтервал (-∞, -1):

При x < -1, (x + 1) < 0 і (x^2 - 1) < 0, отже, y'(x) > 0.

b) Розглянемо інтервал (-1, 1):

При -1 < x < 1, (x + 1) > 0 і (x^2 - 1) < 0, отже, y'(x) < 0.

c) Розглянемо інтервал (1, ∞):

При x > 1, (x + 1) > 0 і (x^2 - 1) > 0, отже, y'(x) > 0.

Знаючи знаки похідної на цих інтервалах, ми можемо визначити, де функція зростає і де спадає:

• Функція зростає на інтервалах (-∞, -1) і (1, ∞).
• Функція спадає на інтервалі (-1, 1).

4. Знайдемо точки екстремуму, в яких похідна дорівнює нулю:

Для x = -1 і x = 1 ми вже знайшли, що похідна дорівнює нулю, тобто це критичні точки. Тепер перевіримо їх на екстремуми.

Для x = -1:

y''(-1) = [(2 * (-1) * (-1) - 3) * (x + 1)^2 - (x^2 - 1) * 2 * (x + 1) * 2] / (x + 1)^4

y''(-1) = [-2 - 3 - 2] / (x + 1)^2 = -7 / (x + 1)^2

Якщо y''(-1) < 0, то це точка максимуму. Оскільки -7 / (x + 1)^2 завжди від'ємне, x = -1 є точкою максимуму.

Аналогічно, для x = 1, ми бачимо, що x = 1 є точкою мінімуму.

Отже, у нас є точка максимуму в (-1, f(-1)) і точка мінімуму в (1, f(1)), де f(x) - це значення функції y(x) = (x^2 - 3x) / (x + 1).