Question

№315 Ю.М. Колягин , 10 класс. Доказать , что многочлен х⁹+вх⁸+сх⁷ делился на х+а₁ и на х+а₂, где а₁*а₂≠0 , тогда и только тогда когда в=а₁+а₂ и с=а₁*а₂. Максимально подробно.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

f( x ) = x⁹ + bx⁸ + cx⁷ ;

f( - a₁ ) = -a₁⁹ + ba₁⁸ + ca₁⁷ = 0  ;│a₁⁷≠ 0, f( - a₂ ) = -a₂⁹ + ba₂⁸ + ca₂⁷ = 0 ;│a₂⁷≠ 0

{ - a₁² + ba₁ - c = 0 ,          

{ - a₂² + ba₂ - c = 0 ;    

{ c = - a₁²+ ba₁ ,

{ - a₂²+ ba₂ - ba₁ + a₁² = 0 ;

{ c = - a₁²+ ba₁ ,

{( a₂ - a₁ )b = a₂²- a₁² ;

{ c = - a₁²+ ba₁ ,

{ b = a₂ + a₁ ;

{ c = a₁a₂ - a₁² + a₁² ;

{ b = a₁ + a₂ ;  

{ c = a₁a₂ ,

{ b = a₁ + a₂ .

Answer 2

Давайте докажем это утверждение.

Пусть дан многочлен f(x) = х⁹ + вх⁸ + сх⁷ и известно, что он делится на (х + а₁) и (х + а₂), где а₁ * а₂ ≠ 0.

1. Для начала, давайте поделим многочлен f(x) на (х + а₁). Используем алгоритм деления многочленов:

   f(x) = х⁹ + вх⁸ + сх⁷ (х + а₁) | f(x)

   По алгоритму деления мы получаем:

   f(x) = (х + а₁)(х⁸ + (в + а₁)х⁷ + ...)

   Здесь мы опустили остальные члены, так как они не важны для данной задачи. Теперь мы видим, что f(x) делится на (х + а₁).

2. Теперь давайте также поделим f(x) на (х + а₂) по тому же принципу:

   f(x) = х⁹ + вх⁸ + сх⁷ (х + а₂) | f(x)

   Аналогично, мы получаем:

   f(x) = (х + а₂)(х⁸ + (в + а₂)х⁷ + ...)

   Теперь мы видим, что f(x) делится на (х + а₂).

3. Теперь мы знаем, что f(x) делится и на (х + а₁), и на (х + а₂). Это означает, что у нас есть два корня уравнения f(x) = 0: x = -а₁ и x = -а₂.

4. По теореме Виета, сумма корней многочлена равна отрицанию коэффициента перед x в степени (n-1), где n - степень многочлена. В данном случае, n = 9.

   a₁ + a₂ = -в (по теореме Виета)

5. Также, произведение корней многочлена равно коэффициенту перед x в степени 0.

   a₁ * a₂ = с (по теореме Виета)

6. Теперь мы убедились, что a₁ + a₂ = -в и a₁ * a₂ = с.

Таким образом, мы доказали, что если многочлен f(x) делится на (х + а₁) и (х + а₂), где a₁ * a₂ ≠ 0, то в = а₁ + а₂ и с = а₁ * а₂.