Question

Укажите наименьшее целое значение параметра а, при котором неравенство х^2-(4a+1)x + (a+2)(3a-1)>0 выполняется при всех отрицательных значениях х Пожалуйста, поясните подробно

Answer 1

Ответ:

1

Пошаговое объяснение:

f(x)=х^2-(4a+1)x + (a+2)(3a-1)

Так как положителен старший коэффициент,

необходимо выполнение одного из условий.

1) Дискриминант положителен, т.е. функция не имеет нулей, а значит положительна при всех х

2) Все нули функции неотрицательны

1) D=(4a+1)²-4(a+2)(3a-1)=4a²-12a+9=(2a-3)²>0 при всех целых а

2) Используя теорему Виета имеем для двух неотрицательных корней имеем. Их сумма и произведение одновременно неотрицательны. Тогда

4а+1≥0 и (a+2)(3a-1)≥0

Минимальное целое а=1

Второй способ. Выполнение двух условий

f(0)≥0 и абсцисса вершины параболы неотрицательны. Получим те же два неравенства

Answer 2

Давайте рассмотрим неравенство:

$x^2 - (4a + 1)x + (a + 2)(3a - 1) > 0$

Мы хотим найти наименьшее целое значение параметра $a$, при котором это неравенство выполняется для всех отрицательных значений $x$.

Сначала давайте найдем корни уравнения $x^2 - (4a + 1)x + (a + 2)(3a - 1) = 0$. Мы можем использовать квадратное уравнение:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

В нашем случае:

$a = 1, \quad b = -(4a + 1) = -5, \quad c = (a + 2)(3a - 1) = (1 + 2)(3 - 1) = 6$

Теперь подставим значения:

$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(1)(6)}}{2(1)}$

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2}$

$x = \frac{5 \pm 1}{2}$

Таким образом, корни уравнения равны $x_1 = 3$ и $x_2 = 2$.

Теперь мы можем построить график квадратного трехчлена $y = x^2 - (4a + 1)x + (a + 2)(3a - 1)$ в зависимости от $a$ и проанализировать его поведение.

1. При $x = -\infty$ выражение $x^2$ растет очень быстро, и его влияние доминирует.

2. При $x = +\infty$ выражение $- (4a + 1)x$ растет, но медленнее, чем $x^2$, так как коэффициент перед $x$ меньше единицы.

3. После этого идет член $(a + 2)(3a - 1)$. Он влияет на форму графика в зависимости от значения $a$.

Итак, чтобы неравенство было выполнено при всех отрицательных значениях $x$, график $y$ должен находиться выше оси $x$ на всей своей области значений. Это означает, что у уравнения не должно быть действительных корней (то есть, уравнение не должно пересекать ось $x$).

Для этого необходимо, чтобы дискриминант был меньше нуля:

$b^2 - 4ac < 0$

$(-5)^2 - 4(1)(6) < 0$

$25 - 24 < 0$

$1 < 0$

Это неверно. Дискриминант положителен, что означает, что уравнение имеет действительные корни.

Таким образом, неравенство не может быть выполнено для всех отрицательных значений $x$ ни при каком значении $a$.

Если у вас есть дополнительные условия или данные, пожалуйста, предоставьте их, и я постараюсь помочь вам дальше.