Question

Какое существует наименьшее простое число p такое, что p^3+4p^2+4p имеет ровно 30 положительных делителей?

Answer 1

Ответ: 43

Пошаговое объяснение:

p^3 + 4p^2 + 4p = p(p+2)^2

Пусть p нечетно, то есть p отлично от двух, тогда p и p+2 - взаимнопростые.

У простого числа p два делителя: p и 1, тогда поскольку 1 единственный общий делитель с p+2 или (p+2)^2, то если (p+2)^2 имеет n делителей:

d1=1,d2,d3,...,dn = (p+2)^2, то число p(p+2)^2 имеет делители:

d1=1, d2, d3,..., dn = (p+2)^2, pd1=p, pd2, pd3,..., pdn = p(p+2)^2 - имеет 2n делителей, тогда (p+2)^2 имеет ровно 30/2 =  15 делителей.

Пусть: p1, p2, p3,..., pk - простые делители числа (p+2)^2 в произвольном порядке, а поскольку (p+2)^2 - полный квадрат, то каждое простое число из множества p1, p2, p3,..., pk встречаются четное число раз в разложении числа (p+2)^2 на простые множители.

Пусть каждое из чисел p1, p2, p3,..., pk встречается :

2n1, 2n2, 2n3,..., 2nk  раз cоответственно, тогда из комбинаторных соображений общее число делителей числа (p+2)^2 равно: (у числа p+2 они встречаются n1,n2,n3,..., nk раз)

(2n1 + 1)(2n2+1)(2n3 + 1)...(2nk + 1) = 15 = 5*3

5*3 имеет 4 положительных делителя: 1,3,5,15. 1 не подходит, ибо                2ni + 1 >=3

То есть имеем два варианта. У числа (p+2)^2 только 2 простых делителя, каждый из которых встречается n1 и n2 раза:

2n1 + 1 = 3

n1 = 1

2n2 + 1 = 5

n2 = 2

Иначе говоря:

p+2 = p1*p2^2

Или второй вариант:

у числа (p+2)  один простой делитель, что встречается n1 раз :

2n1 +1 = 15

n1 = 7

p+2 = p1^7

Рассмотрим первый случай:

p+2 = p1*p2^2

p = p1*p2^2 - 2

Минимально возможные нечетные p1 и p2: p1 = 3; p2 = 5.

Нетрудно заметить, что 5*3^2 - 2 = 43 - простое, а значит

p = 5*3^2 - 2 = 43 - минимальное нечетное простое число удовлетворяющее условию при данном варианте.

Второй случай рассматривать нет смысла, ибо :

p = p1^7 - 2 >= 3^7 - 2 > 43

Осталось проверить тривиальный случай p = 2

p(p+2)^2 = 2*4^2 = 2^5 - имеет 6 делителей.

Таким образом, наименьшее простое число p такое, что p^3+4p^2+4p имеет ровно 30 положительных делителей это 43.

Answer 2

Чтобы найти наименьшее простое число p, при котором выражение p^3 + 4p^2 + 4p имеет ровно 30 положительных делителей, мы можем воспользоваться следующими шагами:

1. Разложите выражение p^3 + 4p^2 + 4p на множители. Первым шагом можно вынести общий множитель p, получив p(p^2 + 4p + 4). Затем разложите квадратное выражение в скобках.

2. Раскроем скобки внутри выражения p^2 + 4p + 4. Получим p^2 + 4p + 4 = (p + 2)^2.

3. Теперь выражение имеет вид p(p + 2)^2.

4. Мы видим, что п имеет только один множитель p, и (p + 2)^2 также имеет только один множитель, который равен (p + 2). Это означает, что у числа p^3 + 4p^2 + 4p есть всего два различных простых множителя: p и p + 2.

5. Чтобы найти число делителей этого выражения, мы можем воспользоваться формулой для количества делителей. Если число имеет простое разложение вида p^a * q^b * r^c * ..., то число его положительных делителей равно (a + 1) * (b + 1) * (c + 1) * ...

6. В нашем случае, у нас есть два различных простых множителя: p и p + 2. Следовательно, a = 1 (для p) и b = 1 (для p + 2).

7. Теперь нам нужно найти такие значения p, при которых (1 + 1) * (1 + 1) = 2 * 2 = 4. Это означает, что мы ищем такие простые числа p, для которых произведение (p)(p + 2) имеет 4 положительных делителя.

8. Рассмотрим различные простые числа p:

   • Если p = 2, то (2)(2 + 2) = 2 * 4 = 8. Это не подходит, так как у него больше 4 делителей.
   • Если p = 3, то (3)(3 + 2) = 3 * 5 = 15. Это также не подходит.
   • Если p = 5, то (5)(5 + 2) = 5 * 7 = 35. Это тоже не подходит.
   • Если p = 7, то (7)(7 + 2) = 7 * 9 = 63. Это не подходит.
   • Если p = 11, то (11)(11 + 2) = 11 * 13 = 143. Это также не подходит.

9. Минимальное простое число p, при котором выражение p^3 + 4p^2 + 4p имеет ровно 30 положительных делителей, не было найдено в пределах рассмотренных значений. Таким образом, это может потребовать дополнительного исследования или более высоких значений p.