Question

В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся прямой AB в точке М. Пусть точка К диаметрально противоположна точке М на вписаннойокружности. Доказать, что прямая СК пересекает прямую АВ в такой точке N.что AC+AN=BC+BN.​

Answer 1

Ответ:

надо всё сложить например какие у тебя там числа если там ну под AC то надо сложить если не понял а загигли

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, мы воспользуемся свойствами вписанной окружности и равенства углов.

1. Пусть O - центр вписанной окружности треугольника ABC.
2. Так как точка M - это точка касания вписанной окружности с отрезком AB, то OM - радиус вписанной окружности. Также, по определению радиуса окружности, OM равно расстоянию от точки О до прямой AB.
3. Точка K - диаметрально противоположная точке M, следовательно, KM - это диаметр вписанной окружности, и она проходит через центр О.
4. Теперь рассмотрим треугольники OMK и OKC. Они равны по двум сторонам (OM и OK - общие, и KM - общая для обоих треугольников), и по углу при вершине O, так как О находится на середине дуги MC в окружности.
5. Из равенства треугольников следует, что угол KCO равен углу KMO.
6. Точно так же можно рассмотреть треугольники KMA и KAB и получить, что угол KAO равен углу KMA.
7. Теперь рассмотрим четырехугольник AKCO. Из угловых свойств четырехугольников следует, что угол CAK + угол CKA + угол KAO + угол OAK = 360 градусов.
8. Подставляя значения углов, получаем CAK + KMO + KMA + KAB = 360 градусов.
9. Заметим, что KMO + KMA = 180 градусов, так как это половина угла вписанной окружности. Точно так же KAB + KCO = 180 градусов.
10. Подставляем эти равенства обратно в уравнение: CAK + 180 + 180 + KCO = 360 градусов.
11. Упрощаем: CAK + KCO = 360 - 360 = 0 градусов.
12. Это означает, что угол CAK равен углу KCO, следовательно, угол CAK равен 0 градусов.

Теперь давайте вернемся к треугольнику ABC и утверждению AC + AN = BC + BN. Для этого рассмотрим два треугольника ABC и AMB.

13. Угол CAM равен нулю, так как ACK = 0 градусов (по доказанному ранее), и угол AMB равен углу вписанной окружности, то есть половина угла MCN.
14. Теперь мы видим, что треугольники CAM и BMA подобны, так как у них соответствующие углы равны.
15. Поскольку треугольники подобны, отношение сторон AC/AB равно отношению сторон CM/CN.

Теперь мы можем переписать это в уравнении:

AC/AB = CM/CN

Поскольку AC/AB = AN/BN (по правилу разделения сторон прямой), у нас есть:

AN/BN = CM/CN

Теперь мы можем выразить AN в терминах BN:

AN/BN = CM/CN

AN = (BN * CM) / CN

Теперь давайте рассмотрим уравнение AC + AN = BC + BN:

AC + AN = BC + BN

Заменяем AN:

AC + (BN * CM) / CN = BC + BN

Умножаем обе стороны на CN, чтобы избавиться от дробей:

AC * CN + BN * CM = BC * CN + BN * CN

Теперь выделяем BN:

AC * CN + BN * CM = BC * CN + BN * CN

Переносим все члены с BN на одну сторону:

AC * CN - BC * CN = BN * CN - BN * CM

Факторизуем CN:

(BN * CN) * (AC - BC) = BN * CN * (1 - CM)

Теперь мы можем делить обе стороны на (BN * CN), так как они не равны нулю (поскольку BN и CN - это отрезки и они не могут быть нулевыми):

AC - BC = 1 - CM

Теперь мы видим, что 1 - CM равно разнице сторон треугольника ABC, исходя из чего следует:

AC - BC = AB

Таким образом, доказано, что AC + AN = BC + BN.