Question

Розв’яжіть рівняння ab - a - b = 13 в цілих числах. У відповідь запишіть найбільше значення добутку ab серед всіх рішень.

Answer 1

Відповідь:

30 - точно

Answer 2

Давайте розв'яжемо рівняння ab - a - b = 13 в цілих числах. Спростимо його, об'єднавши подібні члени:

ab - a - b - 13 = 0

Тепер спробуємо використовувати метод факторизації групування:

a(b - 1) - (b - 1) - 13 = 0

(b - 1)(a - 1) - 13 = 0

Тепер можемо виразити a - 1:

a - 1 = 13 / (b - 1)

Таким чином, ми бачимо, що a - 1 повинно бути дільником числа 13. Тобто:

a - 1 = ±1, ±13

Це дає нам два варіанти для a:

1. a - 1 = 1 => a = 2
2. a - 1 = -1 => a = 0
3. a - 1 = 13 => a = 14
4. a - 1 = -13 => a = -12

Тепер можемо знайти значення b для кожного з цих варіантів:

1. a = 2: b(b - 1) = 13, b = 14
2. a = 0: b(b - 1) = 13, це рівняння не має цілих розв'язків.
3. a = 14: b(b - 1) = 13, це рівняння не має цілих розв'язків.
4. a = -12: b(b - 1) = 13, це рівняння не має цілих розв'язків.

Отже, найбільше значення добутку ab серед всіх рішень - це 14 * 14 = 196.