Question

У рівнобедрений прямокутний трикутник вписано квадрат так, що дві вершини квадрата, а дві інші- на катетах. Знайдіть гіпотенузу трикутника, якщо сторона квадрата дорівнює 2 см.​

Answer 1

Ответ:

$4 \sqrt{2}$

Answer 2

Давайте розглянемо ситуацію ближче. Нехай у нас є рівнобедрений прямокутний трикутник ABC, де AB = AC - катети, і BC - гіпотенуза.

Також, вписаний квадрат з двома вершинами на катетах трикутника та іншими двома вершинами на гіпотенузі.

Нехай D та E - це точки дотику квадрата з катетами AB та AC відповідно, а F - точка дотику квадрата з гіпотенузою BC.

З огляду на властивості вписаного квадрата можемо сказати, що AD = AE = x (де x - сторона квадрата), та BD = CE = h (де h - висота трикутника з вершини B або C на гіпотенузу BC).

Також, враховуючи подібність трикутників, ми можемо встановити наступні співвідношення:

1. \(\frac{BD}{AB} = \frac{AE}{AC}\) 2. \(\frac{BD}{h} = \frac{h}{AE}\)

Тепер, позначимо AB = AC = a (бо ми маємо рівнобедрений трикутник).

1. \(\frac{h}{a} = \frac{a - x}{a}\) 2. \(\frac{h^2}{x} = \frac{x}{h}\)

Розв'язавши ці рівняння, ми можемо знайти значення x та h. Але пам'ятайте, що \(h^2 = x \cdot (a - x)\).

Якщо сторона квадрата \(x = 2\) см, ви можете підставити це значення та a в рівняння, щоб знайти h та визначити гіпотенузу BC, використовуючи те, що \(BC = \sqrt{h^2 + a^2}\).