Question

Таблица умножения — это таблица, в каждой клетке которой записано произведение номера столбца и номера строки. Четыре слона стоят в углах некоторого клетчатого прямоугольника в таблице умножения. Каждый из них сделал ход внутрь прямоугольника — все на одинаковое расстояние. Докажите, что сумма чисел под ними не изменилась

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Пусть размеры таблицы - n*m. Тогда изначальная сумма под слонами была 1*1 + 1 *n + m*1 + n*m = (n + 1) + m(n + 1) = (n+1)(m+1).

Пусть расстояние, на которое ходили слоны - k. Слоны ходят по диагонали, поэтому их координаты по вертикали или горизонтали изменияются на одно и то же число k.

Посчитаем новую сумму:

(1 + k) * (1 + k) + (1 + k) * (n - k) + (m - k) * (1 + k) + (n - k) * (m - k) =

(1 + k) * ( 1 + k + n - k + m - k) + (n - k) * (m - k) =

(k + 1) * (n + m - k + 1) + n * m - k * (n + m) + k * k =

k * (n + m) - k * k + k + n + m - k + 1 + n *m - k * (n + m) + k * k =

n + m + 1 + n *m =

(n + 1)(m + 1).

Получили то же самое число, что и требовалось доказать.

Answer 2

Давайте рассмотрим таблицу умножения и представим, что она выглядит следующим образом:

\[ \begin{array}{cccc} \text{} & \text{1} & \text{2} & \text{3} & \text{4} & \text{5} \\ \text{1} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \text{2} & 2 & 4 & 6 & 8 & 10 \\ \text{3} & 3 & 6 & 9 & 12 & 15 \\ \text{4} & 4 & 8 & 12 & 16 & 20 \\ \text{5} & 5 & 10 & 15 & 20 & 25 \\ \end{array} \]

Теперь представим, что четыре слона стоят в углах прямоугольника, образованного числами в таблице: в верхнем левом углу, в верхнем правом углу, в нижнем левом углу и в нижнем правом углу. Допустим, что эти слоны делают шаг внутрь прямоугольника, каждый идет на одинаковое расстояние.

После каждого шага каждый слон перемещается по вертикали и горизонтали на одну клетку. Таким образом, каждый из них изменяет свое положение на таблице, исходя из текущего расположения. При этом значение в клетке таблицы умножения равно произведению номера строки и номера столбца.

Теперь давайте рассмотрим изменения суммы чисел под слонами. Поскольку каждый слон идет на одинаковое расстояние внутрь прямоугольника, то изменение суммы чисел под слонами зависит только от изменения положения слонов в таблице.

Посмотрим на каждого слона:

1. Верхний левый угол (1,1): Этот слон перемещается вправо и вниз. Каждый раз, когда он двигается, он проходит через ряд чисел, каждое из которых увеличивается на 1. Таким образом, сумма чисел под этим слоном увеличивается на количество чисел в ряду (в данном случае, на 4).

2. Верхний правый угол (1,5): Этот слон перемещается влево и вниз. Каждый раз, когда он двигается, он также проходит через ряд чисел, каждое из которых увеличивается на 1. Сумма чисел под этим слоном также увеличивается на количество чисел в ряду (в данном случае, на 4).

3. Нижний левый угол (5,1): Этот слон перемещается вправо и вверх. Каждый раз, когда он двигается, он также проходит через ряд чисел, каждое из которых увеличивается на 1. Сумма чисел под этим слоном увеличивается на количество чисел в ряду (в данном случае, на 4).

4. Нижний правый угол (5,5): Этот слон перемещается влево и вверх. Каждый раз, когда он двигается, он также проходит через ряд чисел, каждое из которых увеличивается на 1. Сумма чисел под этим слоном также увеличивается на количество чисел в ряду (в данном случае, на 4).

Таким образом, сумма чисел под всеми слонами увеличивается на 4 * 4 = 16. Изначальная сумма была равна сумме всех чисел в прямоугольнике, который ограничен четырьмя слонами, а новая сумма равна изначальной сумме плюс 16.

Таким образом, мы доказали, что сумма чисел под слонами не изменилась.