Question

в триугольнике АВС,где В =120, биссектрисы пересикаются в точке I.На продолжениях сторон AB и CB за точку B отмечены, соответственно , точки P и Q таким оброзом, что AP=CQ=AC.Найдите велечину PIQ​

Answer 1

Ответ:

Заметим, что ∠ABQ = ∠CBP = ∠ABI = ∠CBI = 60°.

Пусть ∠BAC = 2x, а ∠BCA = 2y, тогда (из треугольника ABC) 2x + 2y + 120° = 180°, то есть x + y = 30°.

Треугольники ACI и QCI равны (по первому признаку), поэтому ∠CQI = ∠CAI = x. Из треугольника QBI: ∠QIB = 180° – 120° – x = 60° – x. Аналогично PIB = 60° – y.

Таким образом, ∠PIQ = ∠PIB + ∠QIB = (60° – y) + (60° – x) = 120° – (x + y) = 120° – 30° = 90°.

Answer 2

Для решения данной задачи, нам понадобится использовать свойства биссектрис треугольника. Давайте разберемся поэтапно.

1. Построение биссектрисы и точек P, Q

В треугольнике ABC проведем биссектрисы углов BAC и BCA. Пусть биссектрисы пересекаются в точке I. Затем, продолжим стороны AB и BC за точку B и отметим точки P и Q так, чтобы AP = CQ = AC.

2. Свойство биссектрис

Воспользуемся свойством биссектрисы. Оно гласит, что биссектриса угла делит противолежащую сторону в отношении длин смежных сторон. То есть, в нашем случае:

AP / BP = AC / BC CQ / BQ = AC / AB

3. Применение свойств

Из условия задачи, мы знаем, что AP = CQ = AC. Заменим эти значения в уравнениях, полученных из свойства биссектрис:

AC / BP = AC / BC AC / BQ = AC / AB

4. Упрощение уравнений

Так как AC является общим делителем с обеих сторон уравнений, мы можем сократить его:

1 / BP = 1 / BC 1 / BQ = 1 / AB

5. Заключение

Из полученных уравнений видно, что BP = BC и BQ = AB. То есть, треугольник BPQ является равнобедренным треугольником, так как BP = BC и BQ = AB.

6. Нахождение величины PIQ

Так как треугольник BPQ является равнобедренным, у него две равные стороны: BP и BQ. Это означает, что углы P и Q при основании треугольника равны. Таким образом, величина PIQ равна половине суммы углов BPQ и BQP.

Ответ: Величина PIQ равна половине суммы углов BPQ и BQP.