Question

Обчислити площу трикутника АВС, якщо відомо координати його вершин: А(-8;-10;2), В(6;4;8), С(5;-4;-2).

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

S∆= √[p(p-a)(p-b)(p-c)]

Зная кординаты точек определяем длины сторон ∆

Длина отрезка в кординатной форме равна квадратному корню из суммы квадратов разностей соответственных координат, ( значения получаются иррациональные) поэтому все вычисления введены по формулам в ехселе , с промежуточным отображением

АВ =√[(-8-6)^2+(-10-4)^2+(2-8)^2

ВС=√[(6-5)^2+(4-(-4))^2+(8-(-2))^2

АС=√[(-8-5)^2+(-10-(-4))^2+(2-(-2))^2

AB=√(14^2+14^2+10^2)=√428

BC=√(1^2+8^2+10^2) = √165

AC=√(13^2+6^2+4^2)= √221

AB=2√107 ~ 20,69

BC=√165 ~ 12,84

AC =√221 ~ 14,87

p = 24,20

S∆ = √9002,9 ~ 94,87

Answer 2

Щоб обчислити площу трикутника за координатами його вершин, можна скористатися формулою площі трикутника, яка використовується у векторній геометрії. Спершу потрібно знайти вектори, що утворюють сторони трикутника, а потім використовувати їх для обчислення площі.

Нехай \(\vec{A B}\), \(\vec{A C}\) і \(\vec{B C}\) - вектори, що утворюють сторони трикутника. Для обчислення цих векторів можна скористатися координатами вершин:

\[ \vec{A B} = \vec{B} - \vec{A} = (6, 4, 8) - (-8, -10, 2) = (6 - (-8), 4 - (-10), 8 - 2) = (14, 14, 6) \]

\[ \vec{A C} = \vec{C} - \vec{A} = (5, -4, -2) - (-8, -10, 2) = (5 - (-8), -4 - (-10), -2 - 2) = (13, 6, -4) \]

\[ \vec{B C} = \vec{C} - \vec{B} = (5, -4, -2) - (6, 4, 8) = (5 - 6, -4 - 4, -2 - 8) = (-1, -8, -10) \]

Тепер, коли ми маємо вектори сторін трикутника, можна розрахувати їх площу за допомогою векторного добутку.

Площа трикутника \(S\) дорівнює половині модуля векторного добутку двох його сторін:

\[ S = \frac{1}{2} |\vec{A B} \times \vec{A C}| \]

Де векторний добуток \(\vec{A B} \times \vec{A C}\) обчислюється наступним чином:

\[ \vec{A B} \times \vec{A C} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 14 & 14 & 6 \\ 13 & 6 & -4 \\ \end{vmatrix} \]

Обчислимо векторний добуток:

\(\vec{A B} \times \vec{A C} = \mathbf{i} \cdot (14 \cdot (-4) - 6 \cdot 6) - \mathbf{j} \cdot (14 \cdot 13 - 6 \cdot 6) + \mathbf{k} \cdot (14 \cdot 6 - 14 \cdot 13)\)

\(\vec{A B} \times \vec{A C} = (-56 \mathbf{i}) - (182 \mathbf{j}) + (0 \mathbf{k})\)

Отже, векторний добуток дорівнює \((-56, -182, 0)\).

Тепер обчислимо модуль цього векторного добутку:

\(|\vec{A B} \times \vec{A C}| = \sqrt{(-56)^2 + (-182)^2 + 0^2} = \sqrt{31360 + 33124} = \sqrt{64484} = 254\)

Площа трикутника \(S = \frac{1}{2} \cdot 254 = 127\) квадратних одиниць.