Question

В равнобедренном треугольнике ABC AB = BC = 4, BH− высота. Вписанная в треугольник ABC окружность второй раз пересекает высоту BH в точке K. Найдите AC, если BK : KH = 0, 25.

Answer 1

Ответ:

BK=02/3

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Давайте разберемся с задачей.

У нас есть равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC = 4. BH - высота, и вписанная в треугольник ABC окружность второй раз пересекает высоту BH в точке K. Также известно, что отношение BK к KH равно 0,25.

Давайте обозначим длину AC как x. Поскольку треугольник ABC равнобедренный, то мы знаем, что углы при основании равны, и высота BH делит треугольник на два равнобедренных треугольника ABH и BCH.

Теперь, давайте рассмотрим треугольник ABH. Мы знаем, что BK : KH = 0,25. Пусть BK = 0,25a, тогда KH = a.

Также мы видим, что в треугольнике ABH у нас есть прямой угол при H, так как BH - высота. Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника ABH:

\[AB^2 = AH^2 + BH^2\]

\[4^2 = AH^2 + a^2\]

\[16 = AH^2 + a^2\]

Теперь давайте рассмотрим треугольник BCH. Мы видим, что BC = 4, и у нас есть высота BH. Используем теорему Пифагора для этого треугольника:

\[BC^2 = BH^2 + CH^2\]

\[4^2 = a^2 + CH^2\]

\[16 = a^2 + CH^2\]

Так как у нас есть выражения для \(16 = AH^2 + a^2\) и \(16 = a^2 + CH^2\), мы можем приравнять их:

\[AH^2 + a^2 = a^2 + CH^2\]

\[AH^2 = CH^2\]

Теперь давайте рассмотрим треугольник AKC. В этом треугольнике мы также можем использовать теорему Пифагора:

\[AC^2 = AK^2 + KC^2\]

Так как AC - это гипотенуза, и мы уже знаем \(AH^2 = CH^2\), то мы можем написать:

\[AC^2 = (AH + HK)^2 + (CH - HK)^2\]

Теперь подставим известные значения:

\[AC^2 = (AH + a)^2 + (CH - a)^2\]

\[AC^2 = (AH^2 + 2aH + a^2) + (CH^2 - 2aH + a^2)\]

Теперь мы можем заменить \(AH^2\) на \(CH^2\) (как мы выяснили ранее):

\[AC^2 = (CH^2 + 2aH + a^2) + (CH^2 - 2aH + a^2)\]

Сократим подобные члены:

\[AC^2 = 2CH^2 + 2a^2\]

Теперь подставим значение \(CH^2\) из теоремы Пифагора для треугольника BCH:

\[AC^2 = 2(a^2 + 16) + 2a^2\]

\[AC^2 = 4a^2 + 32\]

Теперь подставим значение \(a^2\) из теоремы Пифагора для треугольника ABH:

\[AC^2 = 4(16) + 32\]

\[AC^2 = 64 + 32\]

\[AC^2 = 96\]

Теперь возьмем квадратный корень с обеих сторон:

\[AC = \sqrt{96}\]

\[AC = 4\sqrt{6}\]

Итак, длина AC равна \(4\sqrt{6}\).