Question

Для треугольника АВС с заданными координатами вершин А,В,С найти: 1) длины всех его сторон; 2) его углы; 3) длину медианы АМ; 4) проекцию вектора АВ на вектор АС; 5) площадь треугольника АВС; 6) составить уравнение прямых АВ, АС, СВ; 7) составить уравнения медианы АМ; 8) найти длину высоты ВН; 9) составить уравнение прямой ВН; 10) составить уравнение прямой, проходящей через вершину В, параллельно прямой АС. КООРДИНАТЫ: А (-2;1), В (3;11), С (8;3)

Answer 1

Ответ:

а) построить треугольник АВС в прямоугольной системе координат:

для этого построить заданные точки А (0;1), В (-6; -2), С (-3; -5), соединить их и получится треугольник.

б) найти длину стороны АВ = √((-6-0)²+(-2-1)²) = √(36+9) = √45 = 6.708203932;

в) составить уравнение стороны АВ:

АВ : (Х-Ха) / (Хв-Ха) = (У-Уа) / (Ув-Уа ).

АВ : -3 Х + 6 У - 6 = 0 или разделив на -3:

АВ: Х - 2 У + 2 = 0.

То же в виде уравнения с коэффициентом:

АВ: у = 0.5 х + 1.

г) составить уравнение высоты и медианы, проведённых из вершины С:

Уравнение высоты из вершины С:

СС₂: (Х-Хс) / (Ув-Уа) = (У-Ус) / (Ха-Хв)

СС₂: 6 Х + 3 У + 33 = 0, разделим на 3:

СС₂: 2 Х + У + 11 = 0.

СС₂: у = -2 х - 11.

Уравнение медианы из вершины С:

СС₁ : 4.5 Х + 0 У + 13.5 = 0

Разделим на 4,5 и уберём У(он равен 0):

СС₁ : Х + 3 = 0

д) вычислить длину этой высоты:

CC₂ = 2S / ВА = 4.024922.

е) вычислить величину угла А:

cos A= (АВ²+АС²-ВС²) / ( 2*АВ*АС) = 0.8

A = 0.643501 радиан = 36.8699 градусов

ж) найти направляющий вектор медианы, проведенной из вершины С:

Основание медианы (точки пересечения медианы со стороной):

C₁(Хс1;Ус1): (Ха+Хв) / 2; (Уа+Ув) / 2 .

С₁ (-3; -0.5)

С (-3; -5)

направляющий вектор медианы: СС₁(-3-(-3) = 0, -5 - (-0,5)= 4,5)

СС₁(0: -4,5).

з) найти нормальный вектор стороны АС:

это высота на сторону АС из точки В:

В₂: -2.4 -3.8

В (-6; -2)

нормальный вектор ВВ₂ (-2,4-(-6) =3,6; -3,8-(-2) = -1,8)

ВВ₂(3,6; -1,8)

Answer 2

Давайте решим задачу по шагам.

1) Длины всех сторон треугольника ABC:

Длина стороны AB: \[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} \]

\[ AB = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (11 - 1)^2} \] \[ AB = \sqrt{5^2 + 10^2} \] \[ AB = \sqrt{25 + 100} \] \[ AB = \sqrt{125} \] \[ AB = 5\sqrt{5} \]

Аналогично вычисляем длины сторон BC и AC.

2) Углы треугольника ABC:

Используем теорему косинусов:

\[ \cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \] \[ \cos(B) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \] \[ \cos(C) = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \]

где \( a, b, c \) - длины сторон противолежащих углов A, B, C соответственно.

3) Длина медианы AM:

Медиана AM - это отрезок, соединяющий вершину A с серединой стороны BC. Координаты середины отрезка можно найти как среднее арифметическое координат концов отрезка.

\[ M\left(\frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}\right) \]

Теперь, длина AM: \[ AM = \sqrt{(x_M - x_A)^2 + (y_M - y_A)^2} \]

4) Проекция вектора AB на вектор AC:

Проекция вектора \( \vec{AB} \) на вектор \( \vec{AC} \) равна произведению длины \( \vec{AB} \) на косинус угла между векторами.

\[ \text{Проекция} = |\vec{AB}| \cos(\theta) \]

5) Площадь треугольника ABC:

Площадь можно вычислить, используя формулу Герона:

\[ S = \sqrt{p \cdot (p - AB) \cdot (p - BC) \cdot (p - AC)} \]

где \( p \) - полупериметр треугольника: \( p = \frac{AB + BC + AC}{2} \).

6) Уравнения прямых AB, AC, BC:

Уравнение прямой в общем виде: \( y = mx + b \), где \( m \) - коэффициент наклона, \( b \) - y-пересечение.

7) Уравнение медианы AM:

Уравнение медианы, проходящей через две точки \((x_1, y_1)\) и \((x_2, y_2)\), можно записать в виде:

\[ y - y_A = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} \cdot (x - x_A) \]

8) Длина высоты BH:

Длину высоты \( BH \) можно найти, используя теорему Пифагора.

9) Уравнение прямой BH:

Аналогично уравнениям прямых в пункте 6.

10) Уравнение прямой, проходящей через B и параллельной AC:

Уравнение прямой с известным угловым коэффициентом \( m \) и точкой \((x_0, y_0)\):

\[ y - y_0 = m \cdot (x - x_0) \]

Теперь, давайте поочередно решим каждый из этих пунктов.