Question

Для лотереї підготували 1000 білетів, з яких 15 є виграшними. Яка ймовірність того, що з трьох навмання вибраних білетів усі виявляться виграшними?

Answer 1

Ответ:

$P\displaystyle =\frac{C_{15}^3}{C_{1000}^3}=\frac{\dfrac{15\cdot 14\cdot 13}{3!}}{\dfrac{1000\cdot 999\cdot 998}{3!}}\approx 0,0000027$

Answer 2

Щоб визначити ймовірність того, що з трьох навмання вибраних білетів усі виявляться виграшними, можна використовувати поняття ймовірності та комбінаторику.

1. Визначення обсягу простору подій: Обсяг простору подій - це загальна кількість можливих способів вибрати 3 білети з 1000. Це можна обчислити за допомогою комбінаторіки. Кількість комбінацій n елементів з r елементів обчислюється за формулою \( C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!} \).

В даному випадку, n = 1000 (загальна кількість білетів), r = 3 (кількість вибраних білетів). Обсяг простору подій: \( C(1000, 3) = \frac{1000!}{3!(1000-3)!} \).

2. Визначення кількості сприятливих подій: Кількість сприятливих подій - це кількість способів вибрати 3 виграшні білети з 15. Знову використовуємо формулу комбінаторіки.

Кількість сприятливих подій: \( C(15, 3) = \frac{15!}{3!(15-3)!} \).

3. Визначення ймовірності: Ймовірність того, що всі три вибрані білети є виграшними, обчислюється як відношення кількості сприятливих подій до обсягу простору подій.

Ймовірність: \( P = \frac{\text{Кількість сприятливих подій}}{\text{Обсяг простору подій}} \).

У нашому випадку: \( P = \frac{C(15, 3)}{C(1000, 3)} \).

Підставимо значення і обчислимо ймовірність:

\[ P = \frac{\frac{15!}{3!(15-3)!}}{\frac{1000!}{3!(1000-3)!}} \]

\[ P = \frac{\frac{15!}{3!12!}}{\frac{1000!}{3!997!}} \]

\[ P = \frac{\frac{15 \cdot 14 \cdot 13}{3 \cdot 2 \cdot 1}}{\frac{1000 \cdot 999 \cdot 998}{3 \cdot 2 \cdot 1}} \]

\[ P = \frac{455}{166,167} \]

Отже, ймовірність того, що з трьох навмання вибраних білетів усі виявляться виграшними, приблизно становить 0,00274 або 0,274%.