Question

(x^2+2x)^2-(x+1)^2=55 решить с заменой. Через дискриминант.

Answer 1

                 $(x^2+2x)^2-(x+1)^2=55$

Преобразуем первое слагаемое:

     $x^2+2x+1-1=(x+1)^2-1$

Замена:

$(x+1)^2=t$     (ОДЗ:  $t\geq 0$)

$(t-1)^2-t=55$

$t^2-2t+1-t-55=0$

$t^2-3t-54=0$

$D=9-4*1*(-54)=9+216=225=15^2$

$t_1=\frac{3-15}{2}=-6$

            $t_1=-6$    не удовлетворяет ОДЗ.

$t_2=\frac{3+15}{2}=9$

             $t_2=9$   удовлетворяет ОДЗ.

Обратная замена:

при   $t=9$    =>     $(x+1)^{2} =9$

                            $x^{2} +2x+1-9=0$

                             $x^{2} +2x-8=0$

        $D=4-4*1*(-8)=4+32=36=6^{2}$

                         $x_1=\frac{-2-6}{2}=-4$

                                       $x_1=-4$  

                         $x_2=\frac{-2+6}{2}=2$

                                        $x_2=2$

Ответ:  {- 4;   2}

Answer 2

Конечно, давай разберём этот математический пример. У нас есть уравнение:

\((x^2+2x)^2 - (x+1)^2 = 55\)

Для начала, давай раскроем скобки, чтобы упростить уравнение:

\((x^2+2x)^2 = (x^2+2x)(x^2+2x) = x^4 + 4x^3 + 4x^2\)

\((x+1)^2 = (x+1)(x+1) = x^2 + 2x + 1\)

Теперь заменим эти выражения в уравнении:

\(x^4 + 4x^3 + 4x^2 - (x^2 + 2x + 1) = 55\)

Распишем выражение:

\(x^4 + 4x^3 + 4x^2 - x^2 - 2x - 1 = 55\)

Упростим:

\(x^4 + 4x^3 + 3x^2 - 2x - 1 = 55\)

Теперь приведём всё к одной стороне уравнения:

\(x^4 + 4x^3 + 3x^2 - 2x - 1 - 55 = 0\)

\(x^4 + 4x^3 + 3x^2 - 2x - 56 = 0\)

Теперь можем решить это уравнение с помощью замены переменной. Давай представим \(x^2\) как новую переменную, скажем \(y\):

\(y = x^2\)

Тогда наше уравнение примет вид:

\(y^2 + 4y + 3y - 2\sqrt{y} - 56 = 0\)

Теперь это уравнение вида квадратного уравнения относительно переменной \(y\). Мы можем решить его, используя дискриминант.

Для квадратного уравнения вида \(ay^2 + by + c = 0\), дискриминант вычисляется по формуле: \(D = b^2 - 4ac\).

В нашем случае:

\(a = 1, b = 7, c = -56\)

Вычислим дискриминант:

\(D = 7^2 - 4 * 1 * (-56) = 49 + 224 = 273\)

Теперь найдем значения переменной \(y\) с помощью квадратного уравнения:

\[y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

\[y = \frac{-7 \pm \sqrt{273}}{2}\]

Дальше найдем корни этого уравнения:

\[y_1 = \frac{-7 + \sqrt{273}}{2}, \quad y_2 = \frac{-7 - \sqrt{273}}{2}\]

После того как найдены значения \(y_1\) и \(y_2\), мы можем вернуться к исходной замене \(y = x^2\) и найти значения \(x\).

Answer 3

Solving the Equation (x^2+2x)^2-(x+1)^2=55 using the Discriminant

To solve the equation (x^2+2x)^2-(x+1)^2=55, we can start by expanding the expressions on both sides of the equation:

(x^2+2x)^2-(x+1)^2 = 55

Simplifying the equation, we get:

(x^4 + 4x^3 + 4x^2) - (x^2 + 2x + 1) =