Question

Доказать что ln x = o(x^(−ε)), ε > 0 при x → 0+, и обосновать.

Answer 1

Ответ:

Начнём вот с какого факта: пусть a>1; положим a=1+α. Тогда an=(1+α)n=1+nα+n(n−1)2α2+⋯, где все остальные члены неотрицательны. Отсюда следует, что экспонента растёт быстрее квадратичной функции (коэффициент при n2 здесь положителен). Понятно, что такая квадратичная функция растёт быстрее линейной.

Это рассуждение доказывает, что limn→∞nan=0 при a>1. То же самое можно записать в виде n=o(an), где n→∞. Отсюда легко распространить утверждение на случай функций вместо последовательностей: limx→+∞xax=0, или x=o(ax) при x→+∞.

Блин слушай я так решала

Answer 2

Для доказательства того, что \(\ln x = o(x^{-\epsilon})\) при \(x \to 0\), где \(\epsilon > 0\), давайте воспользуемся определением "o-малого". Согласно определению, функция \(f(x)\) является \(o(g(x))\) при \(x \to a\), если

\[ \lim_{{x \to a}} \frac{f(x)}{g(x)} = 0. \]

В данном случае, мы хотим проверить, что

\[ \lim_{{x \to 0}} \frac{\ln x}{x^{-\epsilon}} = 0. \]

Прежде всего, обратим внимание, что при \(x \to 0\), \(\ln x\) стремится к \(-\infty\), а \(x^{-\epsilon}\) стремится к \(\infty\), что делает это отношение неопределённым видом \(\frac{-\infty}{\infty}\). Мы можем применить правило Лопиталя для определения предела таких неопределённых форм:

\[ \lim_{{x \to 0}} \frac{\ln x}{x^{-\epsilon}} = \lim_{{x \to 0}} \frac{\frac{d}{dx} \ln x}{\frac{d}{dx} x^{-\epsilon}}. \]

Найдем производные:

\[ \lim_{{x \to 0}} \frac{\frac{1}{x}}{-\epsilon x^{-\epsilon - 1}}. \]

Упростим:

\[ \lim_{{x \to 0}} -\frac{1}{\epsilon x^{-\epsilon}} = 0. \]

Таким образом, \(\ln x = o(x^{-\epsilon})\) при \(x \to 0\), где \(\epsilon > 0\).