Question

ДАЮ 50 БАЛЛОВ!!!2cos^2x+cosx-1>0​

Answer 1

Заменил cosx=t, решил как обычное квадратное уравнение, сделал обратную замену, нашел корни.

б) Отбор корней по тригонометрической оружности

Заменил cosx=t, решил как обычное квадратное уравнение, сделал обратную замену, нашел корни.

Answer 2

Давайте решим неравенство \(2\cos^2x + \cos x - 1 > 0\). Для удобства введем новую переменную, скажем, \(u = \cos x\), тогда уравнение примет вид:

\[2u^2 + u - 1 > 0.\]

Теперь давайте решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать метод факторизации или квадратного уравнения. Поскольку в данном случае факторизация может быть сложной, воспользуемся квадратным уравнением.

Дискриминант квадратного уравнения \(au^2 + bu + c = 0\) определяется как \(D = b^2 - 4ac\). Если \(D > 0\), то у уравнения два корня; если \(D = 0\), то у него один корень; и если \(D < 0\), то у уравнения нет корней.

В нашем случае:

\[a = 2, \quad b = 1, \quad c = -1.\]

Дискриминант:

\[D = 1 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9.\]

Дискриминант положителен, поэтому у нас есть два корня. Корни можно найти с использованием формулы квадратного уравнения:

\[u_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.\]

Подставим значения:

\[u_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{4}.\]

Таким образом, у нас есть два корня: \(u_1 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}\) и \(u_2 = \frac{-1 - 3}{4} = -1\).

Теперь вернемся к переменной \(x\), для которой \(u = \cos x\). Нам нужно определить интервалы, на которых неравенство выполняется. Неравенство \(2\cos^2x + \cos x - 1 > 0\) будет верным в тех случаях, когда \(\cos x\) лежит в интервалах между корнями \(u_1\) и \(u_2\).

Таким образом, неравенство выполняется, когда:

\[\frac{1}{2} < \cos x < -1.\]

Теперь рассмотрим интервалы для угла \(x\). Значение \(\cos x\) равно \(1/2\) при \(x = \pi/3 + 2\pi k\) и \(x = 5\pi/3 + 2\pi k\), где \(k\) - целое число. Значение \(\cos x\) равно \(-1\) при \(x = \pi + 2\pi k\), где \(k\) - целое число.

Таким образом, решение неравенства \(2\cos^2x + \cos x - 1 > 0\) для переменной \(x\) будет:

\[x \in \left( \pi/3 + 2\pi k, \pi + 2\pi k \right) \cup \left( 5\pi/3 + 2\pi k, \pi + 2\pi k \right),\]

где \(k\) - целое число.

Надеюсь, это решение было полезным! Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.