Question

У прямокутному трикутнику АВС (С=90°) відрізок СД - висота. Радіуси кіл вписаних в АСД і ДСВ, відповідно дорівнюють r1 i r2. Знайти радіус кола вписаного в АВС​

Answer 1

Ответ:

r=sqrt(r2^2+r1^2)

Пошаговое объяснение:

Пусть сторона напротив В обозначена b, напротив С обозначена с, напротив А обозначена а.  Искомый радиус r.

Треугольники  АСД, ВСД и АВС подобны.

Значит r1 : r2=b/а

a^2+b^2

r^2:r1^2=(a^2+b^2):b^2=1+b^2:a^2=1+ r2^2 : r1^2

r^2=r1^2+r2^2

r=sqrt(r2^2+r1^2)

^2 -возведение в кварат

sqrt -корень квадратный

Answer 2

Давайте розглянемо задачу крок за кроком.

Маємо прямокутний трикутник ABC, де C = 90°. Сказано, що відрізок CD - це висота. Також сказано, що радіуси кола, вписаного в трикутники ACD і DBC, позначені як r1 та r2, відповідно, і що їх сума дорівнює r1 + i + r2.

Ми хочемо знайти радіус кола, вписаного в ABC.

Зазначимо, що коло, вписане в трикутник ABC, буде касатися сторін AB, BC і AC.

Тепер розглянемо трикутники ACD і DBC окремо.

1. Трикутник ACD:

Оскільки CD - висота, і ми шукаємо радіус кола, вписаного в ACD, то можемо використовувати формулу для площі трикутника, щоб знайти відношення площі ACD і радіуса r1:

\[S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CD\]

Площа трикутника ACD також може бути виражена як \(S_{ACD} = r1 \cdot p_1\), де \(p_1\) - полупериметр трикутника ACD, тобто \(\frac{AC + CD + AD}{2}\).

З отриманих рівнянь ми можемо виразити r1:

\[r1 = \frac{AC \cdot CD}{p1}\]

2. Трикутник DBC:

Аналогічно, можемо отримати вираз для r2, використовуючи площу трикутника DBC:

\[r2 = \frac{BC \cdot CD}{p2}\]

Тут \(p2\) - полупериметр трикутника DBC.

3. Сума радіусів:

Відомо, що сума радіусів r1, i та r2 дорівнює r1 + i + r2.

Тепер ми можемо об'єднати отримані вирази для r1 та r2:

\[r1 + i + r2 = \frac{AC \cdot CD}{p1} + i + \frac{BC \cdot CD}{p2}\]

Оскільки ми шукаємо вираз для i (радіуса кола, вписаного в ABC), а не для r1 та r2, можемо виразити i з отриманого рівняння:

\[i = r1 + r2 - \frac{AC \cdot CD}{p1} - \frac{BC \cdot CD}{p2}\]

4. Трикутник ABC:

Тепер ми можемо використати отриманий вираз для i для знаходження радіуса кола, вписаного в ABC. Так як це коло касається всіх трьох сторін трикутника, то відомо, що площа трикутника ABC може бути виражена через радіус i:

\[S_{ABC} = i \cdot p_{ABC}\]

Де \(p_{ABC}\) - полупериметр трикутника ABC.

Таким чином, радіус кола, вписаного в ABC, буде:

\[i = \frac{S_{ABC}}{p_{ABC}}\]

Підставимо в це рівняння отриманий раніше вираз для i:

\[i = \frac{S_{ABC}}{p_{ABC}} = \frac{r1 + r2 - \frac{AC \cdot CD}{p1} - \frac{BC \cdot CD}{p2}}{p_{ABC}}\]

Тепер залишається виразити всі величини через відомі сторони та висоту трикутника. Сподіваюся, цей підхід допоможе вам розв'язати задачу.