Question

1)Найдите уравнение окружности конечные точки диаметра которые A(-2;8),B(4;-2). 2)Укажите уравнение окружности с центром в точке (1 ;-2) и которая проходит через точку (3 ;-4).3)Напишите уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом4)Три точки расположены на окружности А(-4;1),В(4;9),С(14;1).Найдите уравнение окружности.​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

Уравнение окружности в общем виде

$(x-x{_0})^{2} +(y-y{_0)}^{2} =R^{2} ,$ где

$(x{_0};y{_0}) -$ центр окружности

R- радиус окружности .

1) А( -2;8), В( 4; -2)

АВ- диаметр окружности. Тогда  О- середина отрезка АВ является центром окружности.

$x{_0}=\dfrac{-2+4}{2} =\dfrac{2}{2} =1;\\y{_0} = \dfrac{8+(-2)}{2} =\dfrac{6}{2} =3.$

O( 1; 3) - центр окружности.

R= AO

$AO= \sqrt{(-2-1)^{2}+(8-3)^{2} } =\sqrt{(-3)^{2} +5^{2} } =\sqrt{9+25} =\sqrt{34}$

Тогда уравнение окружности принимает вид:

$(x-1)^{2} +(y-3})^{2} =(\sqrt{34}) ^{2} ;\\\\(x-1)^{2} +(y-3})^{2} =34$

2) Окружность имеет центр в точке (1; -2). Тогда уравнение окружности принимает вид:

$(x-1)^{2} +(y+2)}^{2} =R^{2} .$

Найдем радиус окружности, зная, что окружность проходит через точку (3;-4)

$(3-1)^{2} +(-4+2)}^{2} =R^{2} ;\\R^{2} =2^{2} +(-2)^{2} =4+4=8$

Значит, уравнение окружности

$(x-1)^{2} +(y+2)}^{2} =8$

3) Центр окружности начало координат, то есть точка О(0;0), $R= 8\sqrt{2}$

$(x-0)^{2} +(y-0)}^{2} =(8\sqrt{2} )^{2} ;\\x^{2} +y^{2} =64\cdot2;\\x^{2} +y^{2} =128.$

4)  Точки А(-4;1), В( 4;9), С( 14;1) лежат на окружности, значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению окружности. Поэтому подставим координаты данных точек в общее уравнение и решим систему уравнений.

$\left \{\begin{array}{l} (x+4)^{2} + (y -1)^{2} =R^{2} , \\ (x-4)^{2} + (y -9)^{2} =R^{2}, \\ (x-14)^{2} + (y -1)^{2} =R^{2},\end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{l} (x+4)^{2} + (y -1)^{2} =R^{2} , \\ (x-4)^{2}-(x+4)^{2} + (y -9)^{2} -(y-1)^{2} =0, \\ (x-14)^{2} - (x+4)^{2} =0,\end{array} \right.$Решим последнее уравнение системы.

$(x-14) ^{2} -(x+4) ^{2}=0;\\x^{2} -28x+196-x^{2} -8x-16=0;\\-36x+180=0;\\-36x=-180;\\36x=180;\\x=180:36;\\x=5$

Подставим найденное значение во второе уравнение системы

$(5-4)^{2} -(5+4)^{2} +(y-9) ^{2} -(y-1)^{2} =0;\\1^{2} -9^{2} +y^{2} -18y+81-y^{2} +2y-1=0;\\1-81 -16y+81-1=0;\\16y=0;\\y=0$

Найдем радиус окружности

$(5+4)^{2} +(0-1)^{2} =R^{2} ;\\R^{2} =81+1=82$

Тогда уравнение окружности принимает вид:

$(x-5)^{2} +y}^{2} =82$

Answer 2

Нахождение уравнения окружности:

1) Найдите уравнение окружности, конечные точки диаметра которой A(-2;8), B(4;-2).

Для начала найдем координаты центра окружности, которая является серединой отрезка между точками A и B. Координаты центра можно найти по формуле: ((x₁ + x₂) / 2, (y₁ + y₂) / 2).

Центр окружности: ( (-2 + 4) / 2, (8 + (-2)) / 2 ) = (1, 3)

Затем найдем радиус окружности, который равен половине длины диаметра. Длину диаметра можно найти по формуле: √((x₁ - x₂)² + (y₁ - y₂)²).

Длина диаметра: √((4 - (-2))² + ((-2) - 8)²) = √((6)² + (-10)²) = √(36 + 100) = √136

Радиус окружности: √136 / 2 = √136 / 2

Таким образом, уравнение окружности будет иметь вид: (x - 1)² + (y - 3)² = (√136 / 2)² (x - 1)² + (y - 3)² = 68

2) Укажите уравнение окружности с центром в точке (1 ;-2) и которая проходит через точку (3 ;-4).

Для нахождения уравнения окружности с центром в заданной точке и проходящей через данную точку, мы можем использовать формулу окружности: (x - h)² + (y - k)² = r², где (h, k) - координаты центра, r - радиус.

Мы знаем, что центр окружности (h, k) = (1, -2) и она проходит через точку (3, -4). Таким образом, радиус можно найти по формуле: r = √((x - h)² + (y - k)²).

Радиус: r = √((3 - 1)² + ((-4) - (-2))²) = √(2² + (-2)²) = √8

Таким образом, уравнение окружности будет иметь вид: (x - 1)² + (y + 2)² = (√8)² (x - 1)² + (y + 2)² = 8

3) Напишите уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом.

Уравнение окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом r будет иметь вид: x² + y² = r²

4) Три точки расположены на окружности А(-4;1), В(4;9), С(14;1). Найдите уравнение окружности.

Для нахождения уравнения окружности, проходящей через три заданные точки, можно воспользоваться методом определителей. Уравнение окружности в общем виде имеет вид: x² + y² + Dx + Ey + F = 0. Где D, E, F - коэффициенты.

Коэффициенты D, E, F можно найти, используя следующие формулы: D = -2(x₁*x₂ + x₂*x₃ + x₃*x₁ - x₁² - x₂² - x₃²) E = -2(y₁*y₂ + y₂*y₃ + y₃*y₁ - y₁² - y₂² - y