Question

#7 Найдите первую цифру наименьшего числа большего 1, являющегося полным квадратом, где число натуральных делителей полный квадрат.а)3; б)4; в)5; г)2​

Answer 1

Рассмотрим разложение числа $n$ полного квадрата на простые: $n = p_{1}^{2\alpha_{1}}\cdot\ldots\cdot p_{k}^{2\alpha_{k}}$. Число делителей такого числа равно $(2\alpha_{1}+1)\cdot\ldots \cdot(2\alpha_{k}+1)$ и является полным квадратом. Это число нечетно, а потому хотя бы $9$. Значит, можно взять $\alpha_{1}=\alpha_{2}=1$, что дает число, не меньшее $2^{2}\cdot 3^2 = 36$. Если простых три, получаем большие числа, а если одно, то  $\alpha_{1}\geq 4$, а соответствующее число $2^{8}=256>36$.

Значит, первая цифра $3$.

Answer 2

Для решения данной задачи, нужно найти наименьшее число, которое больше 1 и при этом является полным квадратом. Затем, нужно посчитать число натуральных делителей этого числа и проверить, является ли это число полным квадратом.

Давайте последовательно выполним эти шаги:

1. Найдем наименьшее полное квадратное число, которое больше 1. Полное квадратное число - это число, которое является квадратом целого числа. Начнем с числа 2 и будем увеличивать его, пока не найдем полное квадратное число.

2^2 = 4 - это первое полное квадратное число больше 1.

2. Теперь, найдем число натуральных делителей числа 4. Делителями числа 4 являются числа 1, 2 и 4. Итого, у числа 4 есть 3 натуральных делителя.

3. Проверим, является ли число натуральных делителей (3) полным квадратом. В данном случае, 3 не является полным квадратом.

Итак, наше исходное предположение о том, что найдется число большее 1, которое является полным квадратом и у которого число натуральных делителей является полным квадратом, не подтвердилось.

Ответ: Нет такого числа, у которого число натуральных делителей является полным квадратом.