Question

Два натуральных числа отличаются на 10. Десятичная запись их произведения состоит из одних девяток. Найдите меньшее из этих чисел.

Answer 1

Пусть это числа n - 5, n + 5, n - целое.

Тогда (n - 5)(n + 5) + 1 = 10^k, k - натуральное.
n^2 - 24 = 10^k
n^2 = 10^k + 24

Пусть k >= 4. Тогда n^2 оканчивается на ...0024, поэтому делится на 8, а n делится на 4, n = 4m
16m^2 = 10^(k - 3) * 1000 + 24
2m^2 = 10^(k - 3) * 125 + 3
Левая часть этого равенства чётная, а правая нечётная, значит, решений в этом случае нет.

k = 1, k = 2, k = 3 перебираются вручную, подходит только k = 3, при этом n^2 = 1024 и n = 32, а сами числа 27 и 37.

Ответ. 27.