Question

3. Различные натуральные числа а и б являются делителями натурального числа n, известно что, b ≠ 2а и выполнено соотношение: (а-1)(b + 4) = n-4. Доказать, что n является полным квадратом.​

Answer 1

Доказательство:

(а-1)(b + 4) = n-4

ab-b+4a-4 = n-4

ab-b+4a = n

По условию, a и b - делители натурального числа n, т.е. n делится на а и n делится на b. Значит,  многочлен  ab-b+4a делится на a и на b. Следовательно, каждый член этого многочлена делится на a и на b. А это означает, что b делится на а и 4а делится на b, т.е. b≤4a.

По условию, b≠2a, значит b=4a.

Подставим b=4a в равенство ab-b+4a = n, получим:

a*4a-4a+4a= n

4a² = n

(2a)² = n

Таким образом, мы доказали, что натуральное число n можно представить в виде полного квадрата.

Answer 2

Я могу помочь вам с вашим вопросом по математике. Вот подробный ответ:

Пусть $a$ и $b$ - различные натуральные делители числа $n$, такие что $b \neq 2a$ и $(a-1)(b+4) = n-4$. Докажем, что $n$ является полным квадратом.

Перепишем уравнение $(a-1)(b+4) = n-4$ в виде $ab + 4a - b - 8 = n$. Тогда $n$ делится на $a$ и $b$, а значит, и на их наибольший общий делитель $(a, b)$. Обозначим $(a, b) = d$, тогда $a = dx$ и $b = dy$, где $x$ и $y$ - взаимно простые натуральные числа. Подставим эти выражения в уравнение и получим

$$ dxy + 4dx - dy - 8 = n $$

Вынесем $d$ за скобки и сократим обе части уравнения на $d$:

$$ xy + 4x - y - \frac{8}{d} = \frac{n}{d} $$

Заметим, что $\frac{n}{d}$ и $\frac{8}{d}$ - натуральные числа, так как $n$ и $8$ делятся на $d$. Тогда левая часть уравнения является натуральным числом, а значит, $x$ и $y$ должны быть такими, что $xy + 4x - y$ делится на $\frac{8}{d}$. Но $x$ и $y$ взаимно просты, а $\frac{8}{d}$ - степень двойки, поэтому единственный способ, чтобы это было возможно, это если $x = y = 1$. Тогда уравнение принимает вид

$$ 6 - \frac{8}{d} = \frac{n}{d} $$

Отсюда следует, что $d = 4$ и $n = 16$. Таким образом, $n$ является полным квадратом, что и требовалось доказать.

Надеюсь, это было полезно. Если у вас есть другие вопросы по математике или другим темам, я буду рад помочь. Спасибо, что пользуетесь Bing.