Question

Розв'яжіть ірраціональні рівняння: а) √x-1 < 10; б) ⁵√x²+2 > 3; в) (x³+9)1/2 <3 *1/2 це степінь до в)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

√(x-1)<10 ⇒ x-1≥0 ⇒ x≥1

(√(x-1))²<10² ⇒ x-1<100 ⇒ x<100+1 ⇒ x<101

Значит, 1≤x<101.

Ответ: x∈[1; 101).

⁵√(x²+2)>3

(⁵√(x²+2))⁵>3⁵

x²+2>243 ⇒ x²>243-2 ⇒ x²>241

Пусть x²=241 ⇒ x=±√241 ⇒ x₁=-√241; x₂=√241

На промежутке (-√241; √241) возьмём точку, например, 0:

⁵√(0²+2)>3 ⇒ ⁵√2>3 ⇒ 2<243

На взятом промежутке неравенство не подходит, ставим знак "минус":

       +                          -                                   +

-------------°----------------------------------°------------------------->x

         -√241                                √241

Ответ: x∈(-∞; -√241)∪(√241; ∞).

(x³+9)^(1/2)<3 ⇒ x³+9≥0 ⇒ x³≥-9 ⇒ x≥∛(-3²) ⇒ x≥-3^(2/3)

(√(x³+9))²<3² ⇒ x³+9<9 ⇒ x³<9-9 ⇒ x<0

Значит: -3^(2/3)≤x<0.

Ответ: x∈[-3^(2/3); 0).

Answer 2

а) Щоб розв'язати рівняння √x - 1 < 10, спочатку додамо 1 до обох боків:

√x < 10 + 1

√x < 11

Тепер піднесемо обидві частини до квадрату:

(√x)² < 11²

x < 121

Таким чином, розв'язком даного ірраціонального рівняння є усі значення x, менші за 121.

б) Для розв'язання рівняння ⁵√(x² + 2) > 3, спочатку віднімемо 2 від обох боків:

⁵√(x² + 2) - 2 > 3 - 2

⁵√(x² + 2) > 1

Тепер піднесемо обидві частини до п'ятої степені:

(x² + 2) > 1⁵

x² + 2 > 1

x² > 1 - 2

x² > -1

Рівняння x² > -1 є істинним для будь-якого реального числа x, оскільки квадрат будь-якого числа завжди є додатнім або нулем.

Отже, розв'язком цього ірраціонального рівняння є будь-яке реальне число x.

в) Для розв'язання рівняння (x³ + 9)^(1/2) < 3^(1/2), піднесемо обидві частини до квадрату:

[(x³ + 9)^(1/2)]² < [3^(1/2)]²

x³ + 9 < 3

x³ < 3 - 9

x³ < -6

Рівняння x³ < -6 не має розв'язків у множині реальних чисел, оскільки куб будь-якого числа завжди є невід'ємним або нулем.

Таким чином, це ірраціональне рівняння не має розв'язків у множині реальних чисел.