Question

Для заданої функції z=x3+8y3+6xy+5 Знайти значення z max?

Answer 1

Ответ:

$z_{max}=6.$

Пошаговое объяснение:

посмотрите предложенное решение.

1) найти стационарные точки;

2) найти значения частных производных в стационарных точках;

3) определить, в каких стационарных точках из найденных выполняется условие экстремума;

4) найти значение функции в точке экстремума.

Answer 2

Щоб знайти максимальне значення функції z = x^3 + 8y^3 + 6xy + 5, необхідно знайти критичні точки, де похідні за x та y дорівнюють нулю, а також перевірити значення функції на границях області.

Спочатку знайдемо часткові похідні за x та y: ∂z/∂x = 3x^2 + 6y ∂z/∂y = 24y^2 + 6x

Рівність похідних ∂z/∂x = 0 та ∂z/∂y = 0 дають наступну систему рівнянь: 3x^2 + 6y = 0 ...(1) 24y^2 + 6x = 0 ...(2)

Розв'язавши цю систему рівнянь, знаходимо значення x та y: З (1), ми можемо отримати: 3x^2 = -6y x^2 = -2y

Підставляємо це у рівняння (2): 24y^2 + 6(-2y) = 0 24y^2 - 12y = 0 12y(2y - 1) = 0

Отримуємо два розв'язки: y = 0 та y = 1/2.

Для y = 0, з рівняння (1) отримуємо: 3x^2 + 6(0) = 0 3x^2 = 0 x = 0

Таким чином, перша критична точка має координати (x, y) = (0, 0).

Для y = 1/2, з рівняння (1) отримуємо: 3x^2 + 6(1/2) = 0 3x^2 + 3 = 0 3x^2 = -3 x^2 = -1

Це рівняння не має розв'язків в дійсних числах. Таким чином, другої критичної точки немає.

Тепер перевіримо значення функції на границях області. Але, оскільки не вказано, яка область розглядається, ми не можемо провести остаточний аналіз максимуму.

У будь-якому випадку, знайдені критичні точки (0, 0) можуть бути потенційними кандидатами на максимум або мінім