Question

Найти частное решение однородного диференциального уравнения xy' = y ( 3 +ln y - ln x ), y ( 1 ) =1/ e

Answer 1

Ответ:

$y = x {e}^{x - 2}$

Пошаговое объяснение:

на фото

Answer 2

Для нахождения частного решения данного однородного дифференциального уравнения мы можем воспользоваться методом разделения переменных. Давайте начнем.

Перепишем уравнение в виде: xy' - y = 3y + yln(y) - yln(x).

Разделим обе части уравнения на xy (предполагая, что y ≠ 0 и x ≠ 0): y'/y = 3/y + ln(y)/y - ln(x)/x.

Теперь проинтегрируем обе части уравнения относительно переменной y: ∫(y'/y) dy = ∫((3/y) + (ln(y)/y) - (ln(x)/x)) dy.

Левая часть уравнения интегрируется как ln(|y|): ln(|y|) = 3ln(|y|) + ln(|y|)ln(|y|) - ln(x)ln(|y|) + C,

где С - константа интегрирования.

Объединим все ln(|y|) в одно слагаемое: ln(|y|) = (3 + ln(|y|) - ln(x))ln(|y|) + C.

Упростим: ln(|y|) - ln(|y|)ln(|y|) = (3 + ln(|y|) - ln(x))ln(|y|) + C.

Или: ln(|y|)(1 - ln(|y|)) = (3 + ln(|y|) - ln(x))ln(|y|) + C.

Теперь рассмотрим начальное условие y(1) = 1/e. Подставим его в уравнение: ln(|1/e|)(1 - ln(|1/e|)) = (3 + ln(|1/e|) - ln(x))ln(|1/e|) + C.

Упростим: (-1)(1 - (-1)) = (3 + (-1) - ln(x))(-1) + C, 1 = (-4 - ln(x))(-1) + C, 1 = 4 + ln(x) + C, ln(x) + C = -3.

Таким образом, мы получили общее решение уравнения. Частное решение можно получить, подставив начальные условия. В данном случае, y(1) = 1/e, поэтому:

ln(1) + C = -3, C = -3.

Таким образом, частное решение данного уравнения имеет вид: ln(x) - 3 = 0, ln(x) = 3, x = e^3.

Таким образом, частное решение уравнения xy' = y(3 + ln(y) - ln(x)), y(1) = 1/e, равно y = 1/e при x = e^3.