Question

Прямокутну ділянку землі, яка прилягає до стіни будинку, потрібно обгородити парканом завдовжки 160 метрів. Знайти довжину прямокутника в метрах, за якої площа ділянки буде найбільшою.

Answer 1

Ответ:

При длине прямоугольного участка 80 м площадь будет наибольшей.

Пошаговое объяснение:

Прямоугольный участок земли, прилегающий к стене дома, нужно огородить забором длиной 160 метров. Найти длину прямоугольника в метрах, при которой площадь участка будет наибольшей.

Участок огорожен забором с трех сторон, так как он прилегает одной стороной к стене дома.

Пусть ширина прямоугольника - а м, а длина - b м.

Тогда длина забора, равная 160 м будет равна:

С = 2a + b = 160 (м)

⇒ а = (160 - b)/2 м

• Площадь прямоугольника равна произведению соседних сторон.

                          S = ab

$\displaystyle S=\frac{160-b}{2}\cdot b =80b-\frac{1}{2}b^2$

Получили функцию зависимости S от b.

Найдем производную:

$\displaystyle S'(b) = 80 - \frac{1}{2}\cdot 2b=80 - b$

Приравняем производную к нулю и найдем корни.

80 - b = 0   ⇒   b = 80

Отметим эту точку на числовой оси и определим знаки производной на промежутках:

$+++[80]---$

• Если производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке наблюдается максимум.

b max = 80   ⇒   S наиб. = S (80) = 80 · 80 - 80²/2 = 6400 - 3200 = 3200 (м²)

При длине прямоугольного участка 80 м площадь будет наибольшей.

#SPJ1

Answer 2

Давайте позначимо довжину прямокутної ділянки як "x" метрів, а її ширину як "y" метрів. За умовою задачі, ми знаємо, що периметр ділянки дорівнює 160 метрам:

2x + 2y = 160

Давайте розв'яжемо цю систему рівнянь для "y" та виразимо "y" через "x":

2x + 2y = 160 2y = 160 - 2x y = 80 - x

Тепер ми можемо обчислити площу ділянки як добуток її довжини та ширини:

Площа = x * y = x * (80 - x)

Для знаходження довжини, при якій площа ділянки буде найбільшою, ми маємо знайти вершину параболи, яка відповідає цій функції. Це можна зробити, використовуючи метод завершення квадрату або диференціювання функції.

Давайте застосуємо диференціювання:

Площа = x * (80 - x) Площа = 80x - x^2

Проведемо похідну від площі відносно "x" та прирівняємо його до нуля, щоб знайти критичну точку:

d(Площа)/dx = 80 - 2x = 0 80 = 2x x = 40

Таким чином, довжина прямокутника повинна бути 40 метрів, щоб площа ділянки була найбільшою.