Question

.Представьте в показательной форме числа z1 = 1 + i и z2 = 1 - i√3, найдите z1z2.

Answer 1

Модуль комплексного числа $z_1:$ $|z_1|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$. Тогда комплексное число представим в виде:

$z_1=\sqrt{2}\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}+i\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$

Так как x > 0; y > 0, то угол $\varphi=\frac{\pi}{4}$. В показательной форме: $z_1=\sqrt{2}e^\big{i\frac{\pi}{4}}$.

Аналогично, $|z_2|=\sqrt{1+(-\sqrt{3})^2}=2$. Тогда $z_1=2\cdot \left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)$

Так как x > 0; y < 0, то угол $\varphi =\frac{5\pi}{3}$. В показательной форме: $z_2=2e^\big{i\frac{5\pi}{3}}$

Найдем произведение двух комплексных чисел

$z_1z_2=\sqrt{2}e^\big{i\frac{\pi}{4}}\cdot 2e^\big{i\frac{5\pi}{3}}=2\sqrt{2}e^\big{i\cdot \left(\frac{\pi}{4}+\frac{5\pi}{3}\right)}=2\sqrt{2}e^\big{i\frac{23\pi}{12}}$

Answer 2

Чтобы представить числа в показательной форме, мы можем использовать формулу Эйлера:

z = |z| * e^(iθ),

где |z| - модуль числа z, θ - аргумент числа z.

Для числа z1 = 1 + i: |z1| = √(1^2 + 1^2) = √2, θ1 = arctan(1/1) = π/4.

Таким образом, z1 в показательной форме будет:

z1 = √2 * e^(iπ/4).

Аналогично, для числа z2 = 1 - i√3: |z2| = √(1^2 + (√3)^2) = 2, θ2 = arctan((-√3)/1) = -π/3.

Таким образом, z2 в показательной форме будет:

z2 = 2 * e^(-iπ/3).

Теперь мы можем умножить эти два числа, используя свойство показательной формы:

z1z2 = (√2 * e^(iπ/4)) * (2 * e^(-iπ/3)) = 2√2 * e^(iπ/4 - iπ/3) = 2√2 * e^(i(3π/12 - 4π/12)) = 2√2 * e^(-iπ/6) = 2√2 * (cos(-π/6) + isin(-π/6)) = 2√2 * (cos(π/6) - isin(π/6)) = 2√2 * (√3/2 - i/2) = √6 - i√2.

Таким образом, z1z2 равно √6 - i√2 в показательной форме.