Question

ГЛАВНЫЕ МОЗГИ СЛОЖНАЯ ЗАДАЧА!!! Доказать что при x,y,z>0sqrt(x/(y+z))+sqrt(y/(x+z))+sqrt(z/(x+y)) > 2​

Answer 1

Доказать, что:

$\sqrt{\dfrac{x}{y+z}}+\sqrt{\dfrac{y}{x+z}}+\sqrt{\dfrac{z}{x+y}} > 2$

Доказательство:

$\sqrt{\dfrac{x}{y+z}}+\sqrt{\dfrac{y}{x+z}}+\sqrt{\dfrac{z}{x+y}}$

Положим, что $s=x+y+z$.

Тогда справедлива запись:

$\sqrt{\dfrac{x}{s-x}}+\sqrt{\dfrac{y}{s-y}}+\sqrt{\dfrac{z}{s-z}}$

Пусть теперь $a=x/s,\;\;b=y/s,\;\;c=z/s$.

$\sqrt{\dfrac{a}{1-a}}+\sqrt{\dfrac{b}{1-b}}+\sqrt{\dfrac{c}{1-c}}$, где $a+b+c=\dfrac{x+y+z}{s}=1$.

Введем функцию:

$f(t)=\sqrt{\dfrac{t}{1-t}}$

Можно показать, что она выпукла на интервале $(0;\;1)$.

Тогда применим неравенство Йенсена:

$f(a)+f(b)+f(c)\ge3f\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)$

Но $a+b+c=1$, то есть:

$f(a)+f(b)+f(c)\ge3f\left(\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\approx2.1$

Таким образом, была показана верность записи ниже:

$\sqrt{\dfrac{x}{y+z}}+\sqrt{\dfrac{y}{x+z}}+\sqrt{\dfrac{z}{x+y}} > 2$

Доказано!

Answer 2

Для доказательства данного неравенства, мы можем воспользоваться неравенством Коши-Буняковского-Шварца (неравенством CBS).

Неравенство CBS утверждает, что для любых положительных чисел a₁, a₂, b₁ и b₂ справедливо следующее:

(a₁ * b₁ + a₂ * b₂)² ≤ (a₁² + a₂²)(b₁² + b₂²)

В нашем случае, мы можем рассмотреть следующие пары чисел:

a₁ = √(x/(y+z)) a₂ = √(y/(x+z)) b₁ = √(y/(x+z)) b₂ = √(z/(x+y))

Применяя неравенство CBS к этим парам, мы получим:

(√(x/(y+z)) * √(y/(x+z)) + √(y/(x+z)) * √(z/(x+y)))² ≤ ((√(x/(y+z)))² + (√(y/(x+z)))²)((√(y/(x+z)))² + (√(z/(x+y)))²)

Simplifying the right side of the inequality, we have:

((x/(y+z)) + (y/(x+z)))² ≤ ((x/(y+z)) + (z/(x+y)))((y/(x+z)) + (z/(x+y)))

Раскрывая квадрат слева, мы получаем:

(x/(y+z))² + 2 * (x/(y+z)) * (y/(x+z)) + (y/(x+z))² ≤ ((x/(y+z)) + (z/(x+y)))(y/(x+z) + z/(x+y))

Упрощая правую сторону неравенства, получим:

(x/(y+z))² + 2 * (x/(y+z)) * (y/(x+z)) + (y/(x+z))² ≤ (x/(y+z)) * (y/(x+z)) + (z/(x+y)) * (y/(x+z)) + (x/(y+z)) * (z/(x+y)) + (z/(x+y)) * (z/(x+z))

Общий знаменатель в левой части равенство и правой части равенство - (y + z)(x + z)(x + y). Умножим обе части неравенства на это значение:

(x/(y+z))²(y + z)(x + z)(x + y) + 2 * (x/(y+z)) * (y/(x+z))(y + z)(x + z)(x + y) + (y/(x+z))²(y + z)(x + z)(x + y) ≤ (x/(y+z))(y/(x+z))(y + z)(x + z)(x + y) + (z/(x+y))(y/(x+z))(y + z)(x + z)(x + y) + (x/(y+z))(z/(x+y))(y + z)(x + z)(x + y) + (z/(x+y))(z/(x+z))(y + z)(x + z)(x + y)

Отменяя