Question

Температура поверхні заготовки розподілена за законом T(x,y)=5x3-2xy+6y2+3. Знайти напрямок найбільшого зростання температури поверхні заготовки в точці М(2,3) та максимальну швидкість її зростання.

Answer 1

это какая тема (я кину в ком решение)

Answer 2

Щоб знайти напрямок найбільшого зростання температури поверхні заготовки, ми можемо використати градієнт цієї функції в точці М(2,3). Градієнт показує напрямок найшвидшого зростання функції, а його напрям визначається вектором, зворотним до вектора градієнта.

Для даної функції T(x, y), градієнт можна обчислити, виконавши часткові похідні за x та y:

∂T/∂x = 15x^2 - 2y ∂T/∂y = -2x + 12y

Тепер можемо обчислити значення градієнта в точці М(2,3):

∂T/∂x (2,3) = 15(2)^2 - 2(3) = 60 - 6 = 54 ∂T/∂y (2,3) = -2(2) + 12(3) = -4 + 36 = 32

Таким чином, градієнт функції T(x, y) в точці М(2,3) дорівнює вектору (54, 32).

Напрямок найбільшого зростання температури поверхні заготовки буде збігатися з напрямом вектора градієнта, тобто (54, 32).

Щодо максимальної швидкості зростання температури, вона буде рівна нормі цього вектора градієнта:

|∇T(2,3)| = √(54^2 + 32^2) ≈ √(2916 + 1024) ≈ √3936 ≈ 62.76

Таким чином, максимальна швидкість зростання температури поверхні заготовки в точці М(2,3) становить близько 62.76 одиниць на одиницю довжини.