Question

Для сигнализации о том, что режим работы автоматической линии станков отклоняется от нормального, используется индикатор, относящийся к вероятностям 0,2; 0,3 и 0,5 к одному из трех типов, для которых вероятности срабатывания при нарушении нормальной работы линии равны соответственно 1; 0,75 и 0,4. От индикатора получен сигнал. К какому типу вероятнее всего относится индикатор?

Answer 1

P(i | B) = P(B | i) * P(i) / P(B),

где P(B | i) – вероятность срабатывания индикатора при нарушении нормальной работы линии для типа i, P(i) – априорная вероятность того, что индикатор относится к типу i, P(B) – полная вероятность срабатывания индикатора.

Так как индикатор сработал, то полная вероятность срабатывания индикатора равна сумме произведений вероятностей срабатывания индикатора при нарушении нормальной работы линии на соответствующие априорные вероятности:

P(B) = Σ[P(B | i) * P(i)] = 1 * 0,2 + 0,75 * 0,3 + 0,4 * 0,5 = 0,65.

Тогда для каждого типа индикатора получаем:

P(1 | B) = 1 * 0,2 / 0,65 = 0,3077,

P(2 | B) = 0,75 * 0,3 / 0,65 = 0,3462,

P(3 | B) = 0,4 * 0,5 / 0,65 = 0,3077.

Таким образом, вероятности того, что индикатор относится к первому и третьему типам, одинаковы и равны 0,3077, а вероятность того, что индикатор относится ко второму типу, немного выше и равна 0,3462. Следовательно, индикатор вероятнее всего относится ко второму типу.

Answer 2

Для определения к какому типу вероятнее всего относится индикатор, мы можем использовать принцип максимальной правдоподобности.

Допустим, что индикатор принадлежит к первому типу. Тогда вероятность получить сигнал при нарушении нормальной работы линии будет равна 1. Вероятность получить сигнал при нормальной работе линии будет равна 0.2.

Допустим, что индикатор принадлежит ко второму типу. Тогда вероятность получить сигнал при нарушении нормальной работы линии будет равна 0.75. Вероятность получить сигнал при нормальной работе линии будет равна 0.3.

Допустим, что индикатор принадлежит к третьему типу. Тогда вероятность получить сигнал при нарушении нормальной работы линии будет равна 0.4. Вероятность получить сигнал при нормальной работе линии будет равна 0.5.

Чтобы определить к какому типу вероятнее всего относится индикатор, мы должны выбрать тот тип, который максимизирует вероятность получить наблюдаемый сигнал.

Для первого типа вероятность получить сигнал будет равна 0.2 * 1 = 0.2. Для второго типа вероятность получить сигнал будет равна 0.3 * 0.75 = 0.225. Для третьего типа вероятность получить сигнал будет равна 0.5 * 0.4 = 0.2.

Таким образом, тип индикатора, который вероятнее всего относится к полученному сигналу, будет второй тип, так как он обеспечивает наибольшую вероятность получить наблюдаемый сигнал.