Question

По каналу зв'язку передається 1000 знаків. Кожен знак може бути спотворений незалежно від іншого з імовірністю 0,001(n +1). Де n - останній номер кредитної книжки. Знайти близьке значення ймовірності, яке буде спотворено: а) не більше трьох знаків; б) хоча б одна ознака; в) рівно п'ять знаків.

Answer 1

Відповідь:

Покрокове пояснення:

Оскільки кожен знак може бути спотворений незалежно від інших, ймовірність, що один знак буде спотворений, дорівнює 0,001(n+1). Ймовірність того, що жоден знак не буде спотворений, дорівнює (1 - 0,001(n+1)).

a) Щоб знайти ймовірність того, що не більше трьох знаків будуть спотворені, можна скористатися формулою Бернуллі та знайти ймовірність кожного з можливих випадків і потім додати їх:

P(0) + P(1) + P(2) + P(3),

де P(0) - ймовірність того, що жоден знак не буде спотворений;

P(1) - ймовірність того, що рівно один знак буде спотворений;

P(2) - ймовірність того, що рівно два знаки будуть спотворені;

P(3) - ймовірність того, що рівно три знаки будуть спотворені.

Таким чином, отримуємо:

P(0) = (1 - 0,001(n+1))^1000

P(1) = 1000 * 0,001(n+1) * (1 - 0,001(n+1))^999

P(2) = (1000!/(2!*998!)) * (0,001(n+1))^2 * (1 - 0,001(n+1))^998

P(3) = (1000!/(3!*997!)) * (0,001(n+1))^3 * (1 - 0,001(n+1))^997

Тоді загальна ймовірність буде дорівнювати:

P(0) + P(1) + P(2) + P(3)

б) Щоб знайти ймовірність того, що хоча б один знак буде спотворений, можна скористатися формулою комплементарної ймовірності:

P(хоча б один) = 1 - P(ні один),

де P(ні один) = (1 - 0,001(n+1))^1000.

в)Імовірність того, що один знак буде спотворений, дорівнює 0,001(n+1). Тому імовірність того, що п'ять знаків будуть спотворені, дорівнює (0,001(n+1))^5.

Отже, імовірність того, що рівно п'ять знаків будуть спотворені, дорівнює:

P = (1000 choose 5) * (0,001(n+1))^5 * (1-0,001(n+1))^(1000-5)

де (1000 choose 5) - це кількість способів вибрати 5 знаків з 1000.

Застосуємо формулу Стірлінга для обчислення факторіала для чисел, що великі:

1000! ≈ sqrt(2π1000)(1000/e)^1000

Тоді:

P ≈ (1000! / (5! * (1000-5)!)) * (0,001(n+1))^5 * (1-0,001(n+1))^(1000-5)

P ≈ 0,078 * (0,001(n+1))^5 * (1-0,001(n+1))^995

Отже, близьке значення ймовірності того, що рівно п'ять знаків будуть спотворені, дорівнює 0,078 * (0,001(n+1))^5 * (1-0,001(n+1))^995.

Answer 2

Для розв'язання цього завдання використаємо формулу Бернуллі для розподілу Бернуллі.

Загальна формула ймовірності спотворення знаку залежить від номера кредитної книжки n: P = 0.001(n + 1)

а) Щоб знайти ймовірність, що не більше трьох знаків будуть спотворені, ми повинні врахувати всі можливі випадки, коли кількість спотворених знаків може бути 0, 1, 2 або 3. Тобто ми знаходимо суму ймовірностей для цих випадків: P_0 = (1 - P)^1000 + 1000 * P * (1 - P)^999 + (1000 * 999 / 2) * P^2 * (1 - P)^998 + (1000 * 999 * 998 / 6) * P^3 * (1 - P)^997

б) Щоб знайти ймовірність, що принаймні одна ознака буде спотворена, ми повинні відняти ймовірність того, що жодна знак не буде спотворена від загальної ймовірності 1: P_1 = 1 - (1 - P)^1000

в) Щоб знайти ймовірність, що рівно п'ять знаків будуть спотворені, ми використовуємо формулу для комбінацій, де n = 1000 (загальна кількість знаків) і k = 5 (кількість спотворених знаків): P_5 = (1000 * 999 * 998 * 997 * 996 / (5 * 4 * 3 * 2 * 1)) * P^5 * (1 - P)^995

Підставимо значення ймовірності P = 0.001(n + 1) у формули і отримаємо близькі значення ймовірностей для кожного випадку.