Question

Сформулюйте та доведіть теорему, обернену теореми Піфагора.​

Answer 1

Ответ:

Доведення: Нехай у трикутника:. Доведемо, що кут прямий. Побудуємо прямокутний з катетами і . За теоремою Піфагора і отже, . Але за умовою теореми. Тоді або. Отже трикутники і рівні за трьома сторонами. З рівності трикутників випливає, що угол трикутника – прямий.

Answer 2

Теорема, обернена до теореми Піфагора, стверджує наступне:

Якщо в трьох сторонах трикутника квадрат довжини найдовшої сторони дорівнює сумі квадратів довжин двох інших сторін, то цей трикутник є прямокутним.

Доведення: Нехай у нас є трикутник ABC зі сторонами a, b і c, де c є найдовшою стороною. Наше припущення полягає в тому, що c^2 = a^2 + b^2. Ми хочемо довести, що цей трикутник є прямокутним.

Використовуючи закон косинусів для кута C, маємо: cos(C) = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)

Ми хочемо показати, що cos(C) = 0, оскільки це означатиме, що кут C дорівнює 90 градусам і трикутник ABC буде прямокутним.

Підставимо наше припущення c^2 = a^2 + b^2 в формулу для cos(C): cos(C) = (a^2 + b^2 - (a^2 + b^2)) / (2ab) = 0 / (2ab) = 0

Отже, ми показали, що cos(C) = 0, що означає, що кут C дорівнює 90 градусам і трикутник ABC є прямокутним.

Таким чином, ми довели, що якщо в трьох сторонах трикутника квадрат довжини найдовшої сторони дорівнює сумі квадратів довжин двох інших сторін, то цей трикутник є прямокутним.