Question

Из всех прямоугольников, у которых одна вершина лежит в начале координат, вторая на положительной полуоси ОХ, третья на положительной полуоси ОУ, а четвёртая на параболе у=4-х2. Выбран прямоугольник с наибольшей площадью. Найдите эту площадь. Запишите решение и ответ.

Answer 1

Ответ:

Пусть стороны прямоугольника имеют длины $x$ и $y$. Тогда координаты вершин прямоугольника: $(0,0), (x,0), (0,y), (x,y)$. Так как третья вершина находится на параболе $y=4-x^2$, то $y=4-x^2$.

Таким образом, мы имеем прямоугольник со сторонами $x$ и $4-x^2$, его площадь равна $S=x(4-x^2)=4x-x^3$. Найдем максимум этой функции, взяв производную и приравняв её к нулю:

Таким образом, стороны прямоугольника равны $\frac{2\sqrt{3}}{3}$ и $4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}$, его площадь равна $S = \frac{8\sqrt{3}}{9} - \frac{8}{27} \approx 2,359$. Ответ: площадь прямоугольника с наибольшей площадью равна $\frac{8\sqrt{3}}{9} - \frac{8}{27}$.

Answer 2

Чтобы найти прямоугольник с наибольшей площадью, мы должны найти такие координаты для его вершин, которые максимизируют эту площадь. Предлагаю разобраться по шагам.

Шаг 1: Представим, что вершины прямоугольника имеют координаты (0, 0), (x, 0), (x, y) и (0, y), где (x, y) - координаты четвёртой вершины.

Шаг 2: Из уравнения параболы у = 4 - x^2 можем найти значение y в точке (x, y). Подставим x вместо x в уравнение параболы:

y = 4 - x^2

Шаг 3: Площадь прямоугольника равна произведению длины и ширины. Длина прямоугольника равна x, а ширина - y. Таким образом, площадь равна S = x * y.

Шаг 4: Подставим выражение для y из параболы в формулу для площади:

S = x * (4 - x^2)

Шаг 5: Чтобы найти максимальное значение площади, найдём её производную и приравняем её к нулю:

dS/dx = 4 - 3x^2 = 0

3x^2 = 4

x^2 = 4/3

x = ±√(4/3) = ±(2/√3)

Поскольку в условии указано, что вторая вершина прямоугольника лежит на положительной полуоси OX, мы выберем положительное значение x:

x = 2/√3

Шаг 6: Теперь найдём значение y, подставив найденное x в уравнение параболы:

y = 4 - (2/√3)^2

y = 4 - 4/3

y = 8/3

Шаг 7: Подставим значения x и y в формулу площади:

S = (2/√3) * (8/3)

S = (16/√3) / 3

S ≈ 9.237

Таким образом, прямоугольник с наибольшей площадью, удовлетворяющий условиям, имеет площадь около 9.237.