Question

Точка (2;1;-1) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость. Составить уравнение этой плоскости.​

Answer 1

Так как начало координат имеет нулевые координаты, то значения  (2;1;-1) - это нормальный вектор заданной плоскости.

Уравнение плоскости A(x − x0) + B(y − y0) + C(z − z0) = 0.

Подставим координаты точки и вектора.

2(x − 2) + 1(y − 1) + (-1)(z − (-1)) = 0.

Ответ: 2(x − 2) + (y − 1) − (z + 1)) = 0.

Answer 2

Чтобы составить уравнение плоскости, проходящей через точку (2, 1, -1) и перпендикулярной линии, опущенной из начала координат, нам необходимо знать направляющий вектор этой линии.

Направляющий вектор перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость, будет совпадать с вектором, соединяющим начало координат и точку (2, 1, -1).

Вектор, соединяющий две точки, можно найти, вычтя координаты начальной точки из координат конечной точки. Таким образом, вектор будет иметь следующие координаты: (2 - 0, 1 - 0, -1 - 0) = (2, 1, -1)

Теперь у нас есть направляющий вектор перпендикуляра: (2, 1, -1).

Уравнение плоскости можно записать в виде: A * x + B * y + C * z + D = 0,

где (A, B, C) - вектор, перпендикулярный плоскости, и (x, y, z) - произвольная точка, лежащая на плоскости.

Так как плоскость перпендикулярна линии, опущенной из начала координат, вектор (2, 1, -1) будет вектором, перпендикулярным плоскости.

Теперь мы можем записать уравнение плоскости, заменив (A, B, C) на координаты вектора (2, 1, -1), а (x, y, z) на произвольные переменные: 2 * x + 1 * y + (-1) * z + D = 0.

Теперь подставим в уравнение координаты точки (2, 1, -1), чтобы найти значение D: 2 * 2 + 1 * 1 + (-1) * (-1) + D = 0, 4 + 1 + 1 + D = 0, 6 + D = 0, D = -6.

Итак, окончательное уравнение плоскости будет: 2 * x + 1 * y + (-1) * z - 6 = 0.

Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через точку (2, 1, -1) и перпендикулярной линии, опущенной из начала координат, имеет вид 2 * x + y - z - 6 = 0.