Question

Найдите наименьшее значение функции y = (x – 12)ex–11 на отрезке [10; 12].

Answer 1

Найдём производную функции:

$y'=((x-12)e^{x-11})'=(x-12)'e^{x-11}+(x-12)\cdot(e^{x-11})'=e^{x-11}+\\+(x-12)e^{x-11}\cdot(x-11)'=e^{x-11}+(x-12)e^{x-11}=(x-11)e^{x-11}$

Так как $e^{x-11}>0$, при x < 11 производная отрицательна, то есть функция убывает; при x > 11 производная положительна, то есть функция возрастает. Значит, x = 11 — точка минимума функции. Она входит в промежуток [10; 12], значит, искомое значение достигается в x = 11:

$y(11)=(11-12)e^{11-11}=-1\cdot e^0=-1\cdot 1=-1$

Ответ: -1

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции y = (x – 12)e^(x–11) на отрезке [10; 12] нужно вычислить значение функции в концах отрезка и в его критических точках, а затем найти наименьшее из полученных значений.

1. Вычислим значение функции в концах отрезка:

   • При x = 10: y = (10 – 12)e^(10–11) = (-2)e^(-1) ≈ -2 * 0.3679 ≈ -0.7358.
   • При x = 12: y = (12 – 12)e^(12–11) = 0 * e^1 = 0.

2. Найдем критические точки функции, где производная равна нулю: y' = e^(x–11) + (x–12)e^(x–11). y' = e^(x–11)(1 + (x–12)). Для y' = 0 должно выполняться e^(x–11) = 0 или 1 + (x–12) = 0.

   • Для e^(x–11) = 0 нет решений, так как экспоненциальная функция не обращается в ноль.
   • Для 1 + (x–12) = 0 получаем x = 11.

3. Вычислим значение функции в критической точке: При x = 11: y = (11 – 12)e^(11–11) = (-1)e^0 = -1 * 1 = -1.

Итак, мы получили следующие значения функции:

• При x = 10: y ≈ -0.7358.
• При x = 11: y = -1.
• При x = 12: y = 0.

Наименьшее значение функции на отрезке [10; 12] равно -1.