Question

Вычислите сумму tg20° + tg40° + tg60° + ... + tg160° + tg180° .

Answer 1

tg20° + tg40° + tg60° +tg80° +tg100° + tg120° +tg140° + tg160° + tg180°

tg180° = 0, остается tg20° + tg40° + tg60° +tg80° +tg100° + tg120° +tg140° + tg160°

распишем tg160°, tg140°, tg120°, tg100° как tg(180°-20°), tg(180°-40°), tg(180°-60°), tg(180°-80°)

по формуле приведения: tg(180°-α)=-tgα

tg20° + tg40° + tg60° + tg80° +tg100° + tg120° + tg140° + tg160° = tg20° + tg(180°-20°) + tg40° + tg(180°-40°) + tg60° + tg(180°-60°) + tg80° + tg(180°-80°) = tg20° - tg20° + tg40° - tg40° + tg60° - tg60° + tg80° - tg80° = 0

Answer 2

Tg20°+tg40°+tg60°+tg80°+tg100°+
tg120°+tg140°+tg160°+tg180°=
tg20°+tg40°+√3+tg80°+tg(180°-80°)+
tg(180°-60°)+tg(180°-40°)+tg(180°-20°)+0
=tg20°+tg40°+√3+tg80°-tg80°-tg60°-
tg40°-tg20°=0

Answer 3

Для вычисления суммы tg20° + tg40° + tg60° + ... + tg160° + tg180° мы можем воспользоваться формулой суммы тангенсов арифметической прогрессии.

Формула для суммы тангенсов арифметической прогрессии: tg(a) + tg(a + d) + tg(a + 2d) + ... + tg(a + (n-1)d) = (tg(a + (n-1)d) - tg(a)) / (1 + tg(a + (n-1)d) * tg(a))

В данном случае, a = 20°, d = 20° и n = (180° - 20°) / 20° + 1 = 9.

Подставим значения в формулу: tg20° + tg40° + tg60° + ... + tg160° + tg180° = (tg180° - tg20°) / (1 + tg180° * tg20°)

Используя тригонометрическую тождественную функцию tg(180° + x) = tg(x), формула может быть упрощена: tg20° + tg40° + tg60° + ... + tg160° + tg180° = (tg20° - tg20°) / (1 + tg180° * tg20°) = 0

Таким образом, сумма tg20° + tg40° + tg60° + ... + tg160° + tg180° равна 0.