Question

Найти общее решение дифференциального уравнения dy/dx+xy=x

Answer 1

$\frac{dy}{dx} +xy = x \\ \\ \frac{dy}{dx} = x - xy \\ \\ \frac{dy}{dx} = x(1 - y) \\ \\ \frac{dy}{1-y} = xdx$
Переменные разделили. Теперь можно интегрировать обе части.
$\int\limits {\frac{dy}{1-y}} = \int\limits {x} \, dx \\ \\ - \int\limits {\frac{d(-y)}{1-y}} = \int\limits {x} \, dx \\ \\ - \int\limits {\frac{d(1-y)}{1-y}} = \int\limits {x} \, dx \\ \\ -ln(1-y) = \frac{x^2}{2} + C_1 \\ \\ ln(1-y) = -\frac{x^2}{2} - C_1 \\ \\ 1-y = e^{-\frac{x^2}{2} - C_1}= e^{-\frac{x^2}{2}}*e^{- C_1}= C{_2} e^{-\frac{x^2}{2}} \\ \\ y = 1 - C{_2} e^{-\frac{x^2}{2}} = 1 + C e^{-\frac{x^2}{2}}$
По ходу дела одни константы заменяли на другие. От этого ничего не меняется.
Ответ: $y = 1 + C e^{-\frac{x^2}{2}}$

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение является линейным уравнением первого порядка. Для его решения мы можем использовать метод интегрирующего множителя.

1. Исходное уравнение: dy/dx + xy = x.

2. Умножим обе части уравнения на интегрирующий множитель, который является обратным к коэффициенту при y (то есть 1/x): (1/x) * dy/dx + y = 1.

3. Заметим, что левая часть уравнения является производной от произведения (y/x) по x: d(y/x)/dx = 1.

4. Проинтегрируем обе части уравнения по x: ∫d(y/x)/dx dx = ∫1 dx.

5. После интегрирования получим: y/x = x + C,

где C - произвольная постоянная.

6. Умножим обе части уравнения на x: y = x^2 + Cx.

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения dy/dx + xy = x задается функцией: y = x^2 + Cx,

где C - произвольная постоянная.