Question

Пароход, отчалив от пристани А, спустился вниз по течению притока до впадения в реку на 60 км и поднялся вверх по реке (против течения) на 28 км. до пристани В. Весь путь от А до В пароход прошел за 10 часов. Скорость течения реки 1 км/час, скорость течения протоки 2 км/час. Определите собственную скорость теплохода.

Answer 1

Пусть х км/ч - собственная скорость парохода, тогда (х + 2) км/ч - скорость парохода по течению притока, (х - 1) км/ч - скорость против течения реки. Весь путь от А до В пароход прошёл за 10 часов. Уравнение:

60/(х+2) + 28/(х-1) = 10

60 · (х - 1) + 28 · (х + 2) = 10 · (х + 2) · (х - 1)

60х - 60 + 28х + 56 = (10х + 20) · (х - 1)

88х - 4 = 10х² + 20х - 10х - 20

10х² + 10х - 20 - 88х + 4 = 0

10х² - 78х - 16 = 0

D = b²  - 4ac = (-78)² - 4 · 10 · (-16) = 6084 + 640 = 6724

√D = √6724 = 82

х₁ = (78-82)/(2·10) = (-4)/20 = -0,2 (не подходит, так как < 0)

х₂ = (78+82)/(2·10) = 160/20 = 8

Ответ: 8 км/ч - собственная скорость парохода.

Проверка:

60 : (8 + 2) = 60 : 10 = 6 ч - время движения вниз по течению притока

28 : (8 - 1) = 28 : 7 = 4 ч - время движения вверх против течения реки

6 ч + 4 ч = 10 ч - время движения от А до В

Answer 2

Пусть V будет скоростью парохода (собственная скорость), Vr - скоростью течения реки, Vp - скоростью течения притока.

При движении вниз по течению притока пароход двигается со скоростью V + Vp (относительно берега).

Поэтому время, затраченное на путь от пристани А до впадения притока, составляет: t1 = 60 / (V + Vp).

При движении вверх по реке против течения пароход двигается со скоростью V - Vr (относительно берега).

Поэтому время, затраченное на путь от впадения притока до пристани В, составляет: t2 = 28 / (V - Vr).

Из условия задачи известно, что t1 + t2 = 10 часов.

Подставим значения t1 и t2 в уравнение: 60 / (V + Vp) + 28 / (V - Vr) = 10.

Теперь решим это уравнение относительно V: 60(V - Vr) + 28(V + Vp) = 10(V + Vp)(V - Vr).

60V - 60Vr + 28V + 28Vp = 10(V^2 - Vr^2).

88V + 28Vp = 10V^2 - 10Vr^2 + 60Vr.

10V^2 - 60Vr - 10Vr^2 + 88V + 28Vp = 0.

10V^2 - (60r + 10r^2 - 88)V - 28Vp = 0.

Это квадратное уравнение относительно V. Решим его, используя квадратное уравнение.

Выражение в скобках является квадратным трехчленом, поэтому мы можем применить формулу для решения квадратного уравнения:

V = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a,

где a = 10, b = -(60r + 10r^2 - 88), c = -28p.

Вычислим значения a, b и c:

a = 10, b = -(60r + 10r^2 - 88), c = -28p.

Теперь подставим эти значения в формулу:

V = (-(60r + 10r^2 - 88) ± sqrt((60r + 10r^2 - 88)^2 - 4 * 10 * (-28p))) / (2 * 10).

V = (-(60r + 10r^2 - 88) ± sqrt((60r + 10r^2 - 88)^2 + 1120p)) / 20.

Таким образом, скорость парохода V равна:

V = (-(60r + 10r^2