Question

Докажите, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если A(2;3;5) B(3;1;2) C(4;1;3) D(3;3;6)

Answer 1

Ответ:

Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Пошаговое объяснение:

АВ=√( (3-2)²+(1-3)²+(2-5)²)=√(1+4+9)=√14

ВС=√( (4-3)²+(1-1)²+(3-2)²)=√(1+0+1)=√2

СD=√( (3-4)²+(3-1)²+(6-3)²)=√(1+4+9)=√14

DA=√( (3-2)²+(3-3)²+(6-5)²)=√(1+0+1)=√2

Имеем АВ=СD=√14 и ВС=DA=√2, значит ABCD параллелограмм

Answer 2

Для того чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, необходимо и достаточно доказать, что его противоположные стороны параллельны.

Для начала найдем векторы AB, BC, CD и DA:

AB = (3-2; 1-3; 2-5) = (1; -2; -3)

BC = (4-3; 1-1; 3-2) = (1; 0; 1)

CD = (3-4; 3-1; 6-3) = (-1; 2; 3)

DA = (2-3; 3-3; 5-6) = (-1; 0; -1)

Заметим, что векторы AB и CD, а также векторы BC и DA имеют равные по модулю и направлению координаты. То есть, данная пара сторон параллельны. Далее, проверим, что эти пары векторов не сонаправлены. Если бы они были сонаправлены, то фигура была бы вырожденным параллелограммом (то есть прямоугольником или ромбом). Но мы видим, что векторы AB и CD не сонаправлены, так как их скалярное произведение равно:

AB · CD = 1*(-1) + (-2)*2 + (-3)*3 = -1 - 4 - 9 = -14

Аналогично, и векторы BC и DA не сонаправлены, так как их скалярное произведение равно:

BC · DA = 1*(-1) + 0*0 + 1*(-1) = -2

Таким образом, мы доказали, что пары сторон ABCD параллельны и не сонаправлены, следовательно, четырехугольник ABCD является параллелограммом.