Question

50 БАЛЛОВ! СРОЧНО В таблице 3×3 расставлены действительные числа. Оказалось, что произведение чисел в любой строке и любом столбце равно 10, а произведение чисел в любом квадрате 2×2 равно 2. Найдите число, стоящее в центральной клетке.

Answer 1

Ответ:

0,00016

Пошаговое объяснение:

Произведение чисел в таблице равно 10^3=1000.

Если перемножить все числа из 4 угловых квадратов то получается 2^4=16, но так как мы посчитали 5 чисел (все кроме 4 угловых) два раза, то произведение этих 5 чисел равно 0,016. Так как все строки и столбцы равны 10, центральная ячейка равна 0,016/(10^2)=0,00016

Answer 2

Ответ: короче ответ 16

Answer 3

Обозначим числа в таблице как $a_{i,j}$, где $1 \le i,j \le 3$. Из условия следует система уравнений:
\begin{align*}
a_{i1}a_{i2}a_{i3} &= 10, \quad 1 \le i \le 3, \\
a_{1j}a_{2j}a_{3j} &= 10, \quad 1 \le j \le 3, \\
a_{i,j}a_{i+1,j}a_{i,j+1}a_{i+1,j+1} &= 2, \quad 1 \le i,j \le 2.
\end{align*}
Умножим первое уравнение на второе и возьмем корень из полученной равенства:
$$
\sqrt{a_{11}a_{12}a_{13}a_{21}a_{22}a_{23}a_{31}a_{32}a_{33}} = (10)^{\frac32}.
$$
Отсюда следует, что
$$
a_{11}a_{22}a_{33} = 100, \quad a_{13}a_{22}a_{31} = 100.
$$
Рассмотрим теперь равенства, связывающие квадраты $2 \times 2$:
\begin{align*}
(a_{11}a_{12}a_{21}a_{22})^2 &= (10)^4, \\
(a_{12}a_{13}a_{22}a_{23})^2 &= (10)^4, \\
(a_{21}a_{22}a_{31}a_{32})^2 &= (10)^4, \\
(a_{22}a_{23}a_{32}a_{33})^2 &= (10)^4.
\end{align*}
Из этих равенств следует:
\begin{align*}
a_{11}^2a_{33}^2 &= 100 \cdot 2, \\
a_{13}^2a_{31}^2 &= 100 \cdot 2, \\
a_{12}^2a_{32}^2 &= 100 \cdot 2, \\
a_{21}^2a_{23}^2 &= 100 \cdot 2.
\end{align*}
Поскольку числа $a_{11}^2a_{33}^2$, $a_{13}^2a_{31}^2$, $a_{12}^2a_{32}^2$, $a_{21}^2a_{23}^2$ равны между собой и произведении $a_{11}a_{22}a_{33}$ и $a_{13}a_{22}a_{31}$, то получаем, что
$$
a_{11}a_{22}a_{33} = a_{13}a_{22}a_{31} = 20.
$$
Таким образом, мы получили, что числа $a_{11}, a_{22}, a_{33}$ равны либо $\sqrt[3]{20}$, либо $-\sqrt[3]{20}$. Но так как все числа в таблице действительные, нам нужно выбрать положительный знак. Аналогично получается, что число в центральной клетке равно $\boxed{\sqrt[3]{20}}$.