Question

Найдите значение sin2a, cos2a, tg2a, ctg2a, если π<a<3π/2 и sina=1/5​

Answer 1

Найдите значение sin2a, cos2a, tg2a, ctg2a, если π<a<3π/2 и sina=1/5​

cosa=√(1-1/25)=-√24/5

sin2a=2sinacosa=2*1/5*√24/5=4√6/25

cos2a=1-2sin²a=1-2/25=23/25

tg2a=sin2a/cos2a=4√6/23

ctg2a=23/4√6

Answer 2

Заметим, что вторая и третья четверти нашего графика функции синуса соответствуют отрицательным значениям (так как значение синуса в этих четвертях отрицательно). При этом, у нас дано, что $\pi < a < \frac{3\pi}{2}$, что соответствует третьей четверти графика функции синуса (отмечена на рисунке ниже).


Таким образом, имеем $\sin a = \frac{1}{5}$ и $\cos a < 0$ (из третьей четверти).

Теперь можем вычислить значения:

$\cos a = -\sqrt{1 - \sin^2 a} = -\frac{2\sqrt{6}}{5}$

$\begin{aligned} \sin 2a &= 2\sin a \cos a = 2\cdot \frac{1}{5} \cdot (-\frac{2\sqrt{6}}{5})\\ &= -\frac{4\sqrt{6}}{25} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \cos 2a &= \cos^2 a - \sin^2 a = (-\frac{2\sqrt{6}}{5})^2 - (\frac{1}{5})^2\\ &= \frac{23}{25} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \tan 2a &= \frac{2\tan a}{1 - \tan^2 a} = \frac{2\cdot\frac{1}{5}}{1 - (\frac{1}{5})^2}\\ &=\frac{2}{24/25} = \frac{25}{12} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \cot 2a &= \frac{\cos 2a}{\sin 2a} = \frac{\frac{23}{25}}{-\frac{4\sqrt{6}}{25}}\\ &=-\frac{23\sqrt{6}}{100} \end{aligned}$