Question

В прямоугольной трапеции острый угол равен 45°. Меньшая боковая сторона равна 15 см, а большее основание равно 24 см. Вычисли длину меньшего основания.

Answer 1

Пусть в прямоугольной трапеции ABCD, AB и CD основания, а ∠D прямой. Тогда AD меньшая боковая сторона (как расстояние между параллельными отрезками AB и CD), то есть AD=19см. По построению DC большое основание, поэтому по условию DC=31см. Острые углы при большом основании, ∠C=45° т.к. ∠D=90°.

Решение:

H∈DC, BH⊥DC ⇒ BH=AD=19см.

В прямоугольном ΔBHC:

∠C=45°, ∠H=90° ⇒ ∠B=45°⇒ HC=BH=19см.

DH=DC-HC=31-19=12см.

В четырёхугольнике ABHD:

∠D=90°, ∠H=90° и ∠A=90°, ∠B=90° т.к. AB║DH, ведь H∈DC и AB║DC.

Получается ABHD - прямоугольник, поэтому AB=HD, HD=12см ⇒ AB=12см.

AB мень. осн. т.к. CD - большее.

Ответ:

Меньшее основание равно 12см.

Answer 2

Пусть меньшая основа равна $x$ см. Тогда по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике с катетами $x$ и $15$ гипотенуза равна $x\sqrt{2}$ см. Также по условию большее основание равно $24$ см. Тогда по формуле для площади трапеции получаем: $$S=\frac{(a+b)h}{2}=\frac{(24+x)x\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{(24+x)x}{2}.$$ С другой стороны, заметим, что меньший прямоугольный треугольник с катетами $x$ и $h$ является подобным большему прямоугольному треугольнику с катетами $24$ и $h$. Тогда имеем: $$\frac{h}{24}=\frac{x}{x\sqrt{2}}$$ что равносильно $h=\frac{12x}{\sqrt{2}}=6x\sqrt{2}$. Подставляем найденные значения площади и высоты в формулу для трапеции и получаем: $$S=\frac{(a+b)h}{2}=\frac{(24+x)x\sqrt{2}}{2}=\frac{3}{4}x^2\sqrt{2}=90,$$ откуда $$x^2=\frac{90\cdot 2}{3}=60$$ и, следовательно, $x=\sqrt{60}=2\sqrt{15}$. Ответ: \boxed{2\sqrt{15}} см.