Question

Найдите десятизначное натуральное число, кратное 11 и состоящее из десяти различных цифр 0, 1, 2, 3, … , 9.

Answer 1

1-й признак делимости на 11: число делится на 11, если знакочередующаяся сумма его цифр делится на 11.

Термин «знакочередующаяся» означает, что первое слагаемое суммы берётся со знаком «плюс», второе — со знаком «минус», третье — опять со знаком «плюс» и т.д. То есть знаки перед слагаемыми чередуются.

Число а1 а2......а10

Тогда а1-а2+а3-а4....+а9-а10 должно делится на 11. максимальная сумма 9-0+8-1+7-2+6-3+5-4=25, поэтому эта сумма должна быть 0, 11 или 22. В ряду от 0 до 5 нечетных чисел 5 штук, поэтому возможен только вариант с 11. из пар +- с нулем в паре должно состоять четное число, иначе не получится 11. несложно подобрать, например, такую комбинацию

9-8+7-5+4-3+2-1+6-0=11

Число 9875432160, таких чисел много

Answer 2

Чтобы число было кратно 11, разность суммы цифр, стоящих на четных местах, и суммы цифр, стоящих на нечетных местах, должна быть кратна 11.

Так как число состоит из десяти различных цифр, то сумма его цифр равна 0+1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45. Из этой суммы можно вычесть любую сумму цифр, равную 11k, где k – целое число.

Для того чтобы разность суммы цифр, стоящих на четных местах, и суммы цифр, стоящих на нечетных местах, была кратна 11, эта разность должна быть либо 0, либо 11. То есть суммы цифр на четных местах и на нечетных местах должны отличаться на 0 или на 11.

Рассмотрим возможные суммы цифр на четных и нечетных местах:

• 9 + 8 + 7 + 6 + 5 – 4 – 3 – 2 – 1 = 35, разность не кратна 11
• 9 + 8 + 7 + 6 + 4 – 5 – 3 – 2 – 1 = 33, разность не кратна 11
• 9 + 8 + 7 + 6 + 3 – 5 – 4 – 2 – 1 = 31, разность не кратна 11
• 9 + 8 + 7 + 6 + 2 – 5 – 4 – 3 – 1 = 30, разность не кратна 11
• 9 + 8 + 7 + 6 + 1 – 5 – 4 – 3 – 2 = 29, разность не кратна 11
• 9 + 8 + 7 + 5 + 4 – 6 – 3 – 2 – 1 = 27, разность не кратна 11
• 9 + 8 + 7 + 5 + 3 – 6 – 4 – 2 – 1 = 27, разность не кратна 11
• 9 + 8 + 7 + 5 + 2 – 6 – 4 – 3 – 1 = 27, разность не кратна 11
• 9 + 8 + 7 + 5 + 1 – 6 – 4 – 3 – 2 = 27, разность не кратна 11
• 9 + 8 + 7 + 4 + 3 – 6 – 5 – 2 – 1 = 29, разность не кратна 11
• 9 + 8 + 7 + 4 + 2 – 6 – 5 – 3 – 1 = 28, разность не кратна 11
• 9 + 8 + 7 + 4 + 1 – 6 – 5 –