Question

Найти сумму первых девятнадцати членов арифметической прогрессии, если a19=9a11

Answer 1

$S_{19}=\dfrac{a_1+a_{19}}{2}\cdot19$

Рассмотрим равенство: $a_{19}=9a_{11}$

$a_1+18d=9(a_1+10d)\\ a_1-9a_1=90d-18d\\ 8a_1=-72d\\ a_1=-9d,\ m.e.\ a_1+9d=a_{10}=0\ \Rightarrow a_{11}=a_{10}+d=0+d=d\\ \Rightarrow a_{19}=9\cdot d$

Подставляем найденные элементы в формулу суммы:

$S_{19}=\dfrac{-9d+9d}{2}\cdot19=\dfrac{0}{2}\cdot19=0$

Ответ: 0.

Answer 2

Для арифметической прогрессии с первым членом a1 и разностью d, общий член данной прогрессии может быть выражен как:

an = a1 + (n - 1) * d

где n - номер члена прогрессии.

Задано, что a19=9a11, что может быть переписано как:

a1 + 18d = 9(a1 + 10d)

Раскрывая скобки и упрощая, получим:

9a1 = 8d

Таким образом, мы знаем, что отношение первого члена к разности равно 9/8.

Сумма первых n членов арифметической прогрессии может быть выражена как:

Sn = (n/2)(a1 + an)

Заменяя an на a1 + (n - 1) * d и используя отношение 9/8, мы можем выразить Sn как:

Sn = (n/2)(a1 + a1 + (n - 1) * (8/9)a1)

Sn = (n/2)(2a1 + (n - 1) * (8/9)a1)

Sn = (n/2)(18/9 * a1 + (n - 1) * (8/9)a1)

Sn = (n/2)((26/9) * a1 + (8/9)d * (n - 1))

Теперь мы можем вычислить сумму первых 19 членов прогрессии, используя a1 и d:

S19 = (19/2)((26/9) * a1 + (8/9)d * (19 - 1))

S19 = (19/2)((26/9) * a1 + (8/9)d * 18)

Таким образом, чтобы решить задачу, нам нужно знать значения a1 и d. Однако мы знаем, что 9a1 = 8d, а значит, мы можем выбрать любое значение для a1, и затем вычислить d, используя это соотношение.

Пусть, например, a1 = 1. Тогда:

9a1 = 8d 9 * 1 = 8d d = 9/8

Таким образом, мы знаем, что a1 = 1 и d = 9/8. Подставляя эти значения в формулу для S19, мы получаем:

S19 = (19/2)((26/9) * 1 + (8/9)*(9/8) * 18)

S19 = (19/2)(26/9 + 16)

S19 = (19/2)(170/9)

S19 = 1615/6

Ответ: сумма первых девятнадцати членов арифметической прогрессии равна 1615/6.